高中数学湘教版2019选择性必修一第3章+3-3-1　抛物线的标准方程Word版含解析

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3.3　抛物线3.3.1　抛物线的标准方程A级必备知识基础练1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-2)的抛物线的标准方程是(　　)A.y2=-2xB.y2=2xC.x2=2yD.x2=-2y2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为(　　)A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A.4B.6C.8D.124.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,42)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于(　　)A.2B.4C.6D.85.(2022重庆八中高二期中)若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为(　　)A.y2=4xB.x2=4yC.y2=8xD.x2=8y6.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点P到焦点的距离与到x轴的距离之差为1,则p=(　　)A.1B.2C.3D.47.已知抛物线C:x2=2py(p>0),点Ax0,p2在C上,点B的坐标为0,-p2,若|AB|=52,则C的焦点坐标为　　　　　. 8.已知抛物线的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点32,6,求抛物线和双曲线的标准方程.7

1B级关键能力提升练9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和22,则p=(　　)A.4或1B.2或4C.1或2D.110.M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,FM⊥x轴,且|OM|=5,则抛物线的准线方程为(　　)A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-211.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的两点P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,则直线PQ的斜率为(　　)A.1B.2C.3D.512.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为　　　　　. 13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1

2C级学科素养创新练14.(2022浙江宁波效实中学高二期中)抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,2),P为抛物线上一点且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为　　　　　. 7

3参考答案3.3　抛物线3.3.1　抛物线的标准方程1.B　由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax(a>0),则(-2)2=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.2.B　抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-p2且过点(-1,1),故-p2=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).3.B　抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.4.D　由题意可得3x0=x0+p2,即x0=p4,则(42)2=2p·p4,解得p=8(负值舍去).故选D.5.D　∵点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,∴点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离.由抛物线的定义可知,点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,∴p=4,∴点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.6.B　由抛物线的方程可得准线的方程为y=-p2,设P的纵坐标为n,由抛物线的性质,则n+p2-n=1,解得p=2,故选B.7.0,52　∵点Ax0,p2在C上,∴x02=2p·p2,解得x0=±p.又点B的坐标为0,-p2,∴p2+p2=52,解得p=5.故抛物线C的焦点坐标为0,52.8.解由题意可知,抛物线的焦点在x轴正半轴上,故可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),根据点32,6在抛物线上可得62=2p·32,解得p=2.故所求抛物线的标准方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.7

4∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,∴c=1,即a2+b2=1.故双曲线的标准方程为x2a2−y21-a2=1.∵点32,6在双曲线上,∴94a2−61-a2=1,解得a2=14或a2=9(舍去).故所求双曲线的标准方程为x214−y234=1.9.B　设点M的坐标为(xM,yM),因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和22,所以|yM|=22,xM+p2=3,即|yM|=22,xM=3-p2,代入抛物线方程可得8=2p3-p2,整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选B.10.A　抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,∵M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,∴Mp2,p或Mp2,-p.又|OM|=5,∴p22+p2=5,解得p=2或p=-2(舍),则p2=1,∴抛物线的准线方程为x=-1,故选A.11.C　如图所示,作QM垂直准线于点M,PN垂直准线于点N,作PE⊥QM于点E,因为|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由抛物线的定义可知|MQ|=4,|PN|=3,所以|QE|=1,所以|EP|=22-12=3,直线PQ的斜率为31=3.故选C.7

512.12,0　(方法1)将x=2代入抛物线y2=2px(p>0),可得y=±2p.设直线OD的斜率为kOD,直线OE的斜率为kOE,由OD⊥OE,可得kOD·kOE=-1,即2p2·-2p2=-1,解得p=1.所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为12,0.(方法2)记直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的交点为D,易知∠ODE=45°,可得D(2,2),代入抛物线方程y2=2px(p>0),可得4=4p,解得p=1.所以抛物线的标准方程为y2=2x,它的焦点坐标为12,0.13.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px(p>0)联立,可得4x2-5px+p2=0,Δ=9p2>0,故x1+x2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的标准方程为y2=8x.(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,则y1=-22,y2=42.故A(1,-22),B(4,42).设OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(1+4λ,-22+42λ),又y32=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.14.5+13　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),|AF|=13.过点P向准线作垂线,垂足为D,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值.过点A向准线作垂线,垂足为D0,交抛物线于点P0,根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|取最小值,为|AD0|=5.7

6故△PAF周长的最小值为5+13.7