四川省南充市白塔中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（文）word版含答案

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白塔中学高2020级高三入学考试数学试题（文科）一.选择题；本小题共12题，每小题5分.1．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（       ）A．B．C．D．3．在极坐标系中，若，，则（       ）A．B．C．D．4．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（）A．B．C．D．5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为   （）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．一抛物线状的拱桥，当桥顶离水面1时，水面宽4，若水面下降3，则水面宽为（       ）A．6B．7C．8D．9

17．曲线在横坐标为1的点处的切线方程为（       ）A．B．C．D．8．函数在区间[－，]上的图像大致为（       ）A．B．C．D．9．已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（       ）A．B．C．D．10．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．11．已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．12．已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．二、填空题；本题共四小题，每小题5分，共20分。13．抛物线的准线方程是____________________．

214．在极坐标系中，点到直线的距离为______．15．函数的单调递减区间是_______.16．丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为____________.①函数在上为“严格凸函数”；②函数的“严格凸区间”为；③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.三、解答题。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求的普通方程和的极坐标方程；（2）求曲线上的点到曲线距离的最小值．18．（12分）随着手机的日益普及，中学生使用手机的人数也越来越多，使用的手机也越来越智能.某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查.经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占.（1）请根据以上信息完成列联表，并分析是否有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？学习成绩优秀学习成绩不优秀合计在校期间使用手机在校期间不使用手机合计

3（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用手机的概率？参考公式：，其中.参考数据：0．1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819．（12分）函数f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)(a∈R)，已知x＝e是函数f(x)的一个极小值点．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最值．(其中e为自然对数的底数)20．（12分）如图，已知抛物线:，其上一点到其焦点的距离为，过焦点的直线与抛物线交于左、右两点．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．21．（12分）已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆的方程和短轴长；(2)已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，，设直线与椭圆的另一个交点为，连接，求证：平分.22．（12分）已知函数（e是自然对数的底数，）.(1)设的导函数为，试讨论的单调性；(2)当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系.

4参考答案：1．C【解析】【分析】根据复数的除法运算，将复数化简即可根据几何意义得对应点的坐标.【详解】因为,所以在复平面内对应的点为,故对应的点在第四象限.故选:C2．C【解析】【分析】结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.【详解】由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，所以最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.故选：C3．C【解析】【分析】化两点的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解.【详解】由两点，，得两点的直角坐标分别为，由两点的距离公式得：.故选：C.4．B【解析】【分析】由题知,双曲线的焦点在轴上,进而计算,再求渐近线方程即可得答案.【详解】解:由题知,双曲线的焦点在轴上,所以,所以双曲线的渐近线为

5故选:B5．A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．6．C【解析】【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的方程，代点计算即可求解.【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系.设桥顶离水面1时，水面与抛物线交于、两点，易知，当水面下降3时，水面与抛物线交于、两点，设且.设抛物线方程为，将代入计算，易得，故抛物线方程为，代入，得，解得，故水面下降3，则水面宽为8.故选：C.7．D【解析】【分析】根据导数的几何意义即可求解.

6【详解】解：因为，所以，所以切线的斜率，又，所以切点坐标为，所以切线方程为，即，故选：D.8．B【解析】【分析】利用的奇偶性和函数值的特点可选出答案.【详解】因为，所以f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，排除A项；当时，，排除D项；因为，，所以，排除C项，故选：B．9．B【解析】【分析】由题意得，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.【详解】由题意及正弦定理得：，令，则，，可得，所以椭圆的离心率为：.故选：B10．C【解析】【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】

7由题意可知，，整理得，则，故，因为，所以，所以，即．故选：C．11．C【解析】【分析】构造函数，由已知可判断出函数的奇偶性与单调性，进而判断，，的大小．【详解】解：令，则，当时，，函数在上为增函数，且函数图象过原点，又函数是定义在实数集上的奇函数，即，所以，是定义在实数集上的偶函数，又，，所以，所以，；故选：C．12．B【解析】【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：作出函数的图象如图：

8依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，因为必过，且，若时，方程不可能有三个实数解，则必有，当直线与在时相切时，设切点坐标为，则，即，则切线方程为，即，切线方程为，且，则，所以，即当时与在上有且仅有一个交点，要使方程有且仅有三个的实数解，则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，所以，故选：B13．【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，然后可求出，从而可求出准线方程

9【详解】抛物线的标准方程为，所以，得，所以抛物线的准线方程为，故答案为：14．【解析】【分析】由极坐标系下点与直线的位置关系及几何意义即可求解.【详解】由题，点到直线的距离为，故答案为：15．【解析】【分析】求得函数的导数，令导数小于0，即可求得答案.【详解】由题意得：，令，解得，由于，故，所以函数的单调递减区间是，故答案为：16．①②.【解析】【分析】题中告诉了“严格凸函数”点的定义，那么在判断①②③时，严格按照定义来解题.求函数的导函数，以及的导函数.对于①，只要证明在上恒成立；对于②，，所以，解得；对于③，在上恒成立，分离参数，，所以.

10【详解】的导函数，，在上恒成立，所以函数在上为“严格凸函数”，所以①正确；的导函数，，，所以，解得，所以函数的“严格凸区间”为，所以②正确；的导函数，，，所以在上恒成立，即，设，则在单调递增，所以，所以，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】准确理解定义，对于①②③不同的问法，采取不同的解题方式，特别是③，分离参数，转化为求最值问题.17．（1）；；（2）.【解析】（1）由消去t，可得的普通方程；先把的参数方程为化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）利用参数方程表示上任意一点坐标，用点到直线的距离公式表示距离，用三角函数求最小值.【详解】（1）由,所以，代入，整理化简得：，因为中，所以，即的普通方程为：.

11由得：，所以的普通方程为：，把代入，整理化简得：，所以的极坐标方程为：.(2)设上任意一点坐标，设P到的距离d：其中时，有，d取得最小值【点睛】(1)参数方程与普通方程的互化通常用；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用；(2)利用参数方程可以用来求最值，简化运算．18．（1）表格见解析，有；（2）.【解析】【分析】(1)分析题意完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论;(2)列举出基本事件,利用等可能事件的概率公式求概率.【详解】解：（1）列联表如下：学习成绩优秀学习成绩不优秀合计在校期间使用手机2080100在校期间不使用手机401050合   计6090150

12所以有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”．（2）从学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出6人，其中在校期间使用手机的学生有人，记为Y1，Y2在校期间不使用手机的学生有人．记为N1，N2，N3，N4从这6人中选出2人的所有可能情况：共15种，其中至少有一人在校使用手机的情况有9种，(Y1N1，Y1N2，Y1N3，Y1N4，Y2N1，Y2N2，Y2N3，Y2N4，Y1Y2)故至少有一人在校使用手机的概率19．(1)2；(2)＝0，＝2﹣e.【解析】【分析】(1)由＝0即可求得a的值，验算即可；(2)利用的正负判断f(x)在[1，3]上的单调性，根据单调性即可求其最值.(1)∵f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)，∴＝lnx＋1﹣a，∵x＝e是函数f(x)的一个极小值点，∴＝2﹣a＝0，解得：a＝2；当a＝2时，＝lnx－1，当0＜x＜e时，＜0，f(x)单调递减，当x＞e时，＞0，f(x)单调递增，∴x＝e时f(x)的极小值点.∴a＝2.(2)由(1)得：f(x)＝xlnx﹣2x＋2，且f(x)在[1，e)递减，在(e，3]递增，而f(1)＝0，f(3)＝3ln3﹣4＜0，故＝f(1)＝0，＝f(e)＝2﹣e．20．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意，将点代入抛物线方程得到，另到其焦点的距离为5，可得，联立可得或，由题意所以抛物线标准方程为

13；（Ⅱ）设直线的方程为，与抛物线方程联立设，则，．根据题意，即可解出，则直线方程可求试题解析：（Ⅰ）由题意，，解得或，由题意，所以，．所以抛物线标准方程为．（Ⅱ）解方程组，消去，得，显然，设，则①②又，所以即③由①②③消去，得，由题意，故直线的方程为．考点：抛物线方程及性质；直线与抛物线相交的位置关系21．(1)，短轴长；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆定义、离心率可得，进而求得，即可得椭圆方程和短轴长；（2）将问题化为证明，令为联立椭圆，应用韦达定理、斜率两点式并化简，即可证结论.(1)由题意，则，故，则，所以，短轴长.(2)要证平分，即，如下图示，

14所以，只需证即可，，由题意，设为，联立椭圆并整理得：，所以，且，即，而，又，所以，故平分，得证.22．(1)答案见解析(2)，证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，求出，分为和两种情形，即可得结果；（2）根据（1）中的结论结合极大值的概念，求出满足，求出，结合二次函数的性质可得结果.(1)∵，∴令，则.①若，则，所以单调递增；②若，则当时，，所以所以单调递减；当时，，所以单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时在单调递减，在单调递增.(2)由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增；

15∵，且故存在两个零点且.的符号及的单调性如下表所示：x+0-0+↗极大↘极小↗由于是的一个零点，故，所以于是，∵，∴所以.