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1、.386·边界元法在颗粒增强复合材料模拟中的应用王海涛，姚振汉(清华大学z程力学系，北京100084)摘要:在本文中，边界元法用于二维和三维颖粒增强复合材料的数值模拟.快速多极算法作为边界元法的求解算法，从而使边界元法能够对含有大f随机分布颗粒的复合材料进行大规模模拟.广义极小残差法(GMRES)用作迭代运算的求解器。数值算例表明，边界元法能够有效进行颖粒增强复合材料的等效模量和应力分析.关锐询:边界元;快速多极:颗粒;复合材料APPLICATIONOFBOUNDARYELEMENTMETHODFORSIMULATIONOFPAR
2、TICLE-REINFORCEDCOMPOSITEMATERIALSWANGHaitao,YAOZhenhan(DepartmentofEngineeringMechanics,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)Abstract:Thispaperpresentstheapplicationofboundaryelementmethod仍EM)forsimulationof2Dand3Dparticle-reinforcedcompositematerials.Fastmultipole
3、methodisusedasafastsolverforBEM,makingBEMapplicableforlargescalesimulationofcompositeswithalargenumberofrandomlydistributedparticles.GeneralMinimumResidualMethod(GMRES)isusedforiteration.NumericalresultsshowthatBEMiseficientforeffectivemodulusandstressanalysesofcompos
4、itescontainingparticles.Keywords:boundaryelement;fastmultipole;particle;compositematerial1引言边界元法是处理连续介质问题的有效的数值模拟方法之一。与其他数值方法相比，边界元法只需要在边界离散单元，降低了问题的维数和规模，同时精度很高，因此边界元法特别适合处理含有很多颗粒的复合材料结构III.但是常规的边界元法不适合处理大规模问题，因为边界元法形成的系数矩阵是非对称的满阵。常规求解方法往往需要ow3)的计算量和ow2)的存储量，其中N是问题的自
5、由度。而快速多极算法的出现，使二者的规模都下降到了线性的O(N)量级。快速多极算法由Rokhlin(21在1985年提出，用于快速求解势问题。由于快速多极算法在求解大规模问题上的潜力，将快速多极算法用于边界元法的求解得到了不同领域学者的关注和研究。文献[3,41是)1,种O(NlogN)和O(N)量级的快速多极边界元法在弹性力学问题中的应用。最近，新型快速多极算法[151的出现，又大幅度提高了边界元法的求解效率。本文中，采用新型快速多极加速的边界元法与相似子域法[1]结合，用于含有大量随机分布的圆形颗粒的二维复合材料的等效模量的模
6、拟计算;采用GMRES迭代求解的常规边界元法与相似子域法结合，用1一几基金顶目:国家自然科学鉴金资助项目(10172053).教，部博士点专顶基金作者简介:王海脚，男山东人，协士生，主拼从事计抹力学及计体工扭研究;姚报汉.男江苏人，教长，博士生辱师，主要从事边异元法、高性能有皿元挂和无网格法的研究·387·含有球形颗粒的三维复合材料的应力分析。2用干二维弹性力学的快速多极边界元法简介用于描述弹性力学问题的微分方程可以通过Kelvin解和Beti功互等定理等效成积分方程。厂面以二维问题为例，忽略体积力的二维弹性力学的边界积分方程是:
7、c,O(x)up(x)+工T.',,(x,Y)u,,(Y)dr(Y)二工U}(x,Y)t,,(Y)dr(Y)(1)其中x和Y分别称作源点和场点，x,yEI'，a,,6=1,2ec.(x)与:点所在的边界形状有关。U.J.分别是边界的位移和面力。U'(x,Y),瑞(x,Y)是Kelvin解，称作二维弹性力学问题的核函数:Uaa‘一，，=8;rG(11-v)C(3一4v)In(与、·_r.rr2,(2)Tae(二，，)二长共-!票[(，一2v)Se+2ra2ra+(，一2v)narp-n,rQ}47C(1一v)rLOnL一r'jri快
8、速多极边界元法的荃本概念是多极展开。在图1中，x是源点，Y是远离x的场点，包含在正方形区域A里，YoA的中点。满足关系式lY-Yo卜Ix-Y,1/20F图1多极展开示意图将公式(1)中的核函数呢(x,力脚为自变量，颧展开成复数域的泰勒级数，得到U'
