第二十七章　相似

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第二十七章　相似知识点1　比例线段1．比例线段：(1)定义：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例．(2)基本性质：性质1：若＝，则ad＝bc(b，d≠0)；若ad＝bc，则＝(b，d≠0).性质2：若＝，则＝(b，d≠0).性质3：若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝.2．黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且＝＝≈0.618，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．知识点2　平行线分线段成比例1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，若l1∥l2∥l3，则＝或＝.

12．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图2，若DE∥BC，则＝；如图3，若DE∥BC，则＝.知识点3　相似三角形的概念、性质及判定1．概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2．相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．3．判定两个三角形相似的思路：已知条件判定思路有平行截线用平行线的性质找等角．有一对等角找另一对角相等或角的两邻边对应成比例．有两组边对应成比例找夹角相等或第三组边也对应成比例或有一对直角．4．相似三角形的判定：

2类型判定方法示例图示一般三角形平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.三边对应成比例的两个三角形相似.∵＝＝，∴△ABC∽△A'B'C'.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.∵＝，∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'.直角三角形斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似.∵＝，∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.5.相似三角形的常见模型：情境图形示例A字型及其变形已知BC∥DE　已知∠1=∠B　已知∠1=∠B

3X字型及其变形已知AB∥DE　已知∠A=∠D续　表情境图形示例旋转型垂直型双垂直型　　　三垂直型平移+旋转模型一线三等角型知识点4　相似多边形1．概念：两个边数相等的多边形，如果它们的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比．2．相似多边形的性质：(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．知识点5　位似1

4．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似．2．位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．3．位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k，即若原图形的某一点坐标为(x，y)，则其位似图形对应点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky).4．位似作图的步骤：(1)确定位似中心；(2)确定关键点：通常为图形的顶点；(3)确定相似比：根据放大或缩小的倍数确定相似比；(4)确定新图的关键点：分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点；(5)确定位似图形，顺次连接上述各点，得到位似图形．