新人教A版高二选择性必修二5.2.2导数的四则运算法则 同步练习（Word版含解析）

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新人教A版高二5.2.2导数的四则运算法则学校:______姓名:______班级:______考号:______一、单选题(共8小题)1.下列运算正确的是(    )A.(3x)′=3xlnxB.sinxx′=xcosx+sinxx2C.x−1x′=1−1x2D.(log2x)′=1xln22.已知函数f(x)=x·lnx的导函数为f′(x)，若f′(x0)=1，则x0的值为(    )A.1B.2C.eD.03.函数f(x)=excos⁡ x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(   )A.0B.π4C.1D.π24.设f（x）=xln⁡ x，若f′（x0）=2，则x0等于(    )A.e2B.eC.ln⁡22D.ln⁡25.已知函数f(x)=x2+2x−2的图象在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(   )A.(−1,3)B.(−1,−3)C.(−2,−3)D.(−2,3)6.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若f(x)=x2+2f′(0)x+sinx，则f′(0)=(    )A.−2B.−1C.1D.27.已知f(x)=xlnx+2 017x，若f′(x0)=2 019，则x0=(    )A.e2B.eC.1D.ln28.已知函数f(x)=alnx+2，若f′(e)=2，则a的值为(    )A.−1B.1C.2eD.e2二、填空题(共5小题)9.曲线y=3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x−y−1=0，则点P0的坐标是     .10.已知函数f(x)=excos x−x，则f′(x)=     .

111.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=3xf′(2)+lnx，则f(1)的值为    .12.已知f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx−3x，则f′(−1)=    .13.若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x−9都相切，则a=     .三、解答题(共3小题)14.求下列函数的导数：(1)f(x)=(1+sin x)(1−4x)；(2)f(x)=xx+1−2x.15.设函数f(x)=ax−bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.

216.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数f(x)的导函数f′(x)的导数，若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的“拐点”.现已知f(x)=x3−3x2+2x−2，请解答下列问题：(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)证明：f(x)的图像关于“拐点”A对称

3参考答案1.【答案】:D【解析】:(3x)′=3xln3，sinxx′=xcosx−sinxx2，x−1x′=1+1x2，(log2x)′=1xln2.故选D.2.【答案】:A【解析】:f′(x)=ln x+1，∴f′(x0)=ln x0+1=1，∴ln x0=0，得x0=1.故选A.3.【答案】:B【解析】:对函数求导得f′(x)=ex(cos x−sin x)，∴f′(0)=1，∴函数f(x)=excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为π4.4.【答案】:B【解析】:【分析】本题主要考查导数的计算，属于基础题．求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．5.

4【答案】:B【解析】:设M(x0，f(x0))，∵f′(x0)=2x0+2=0，∴x0=−1,∴f(−1)=(−1)2+2×(−1)−2=−3，∴M(−1,−3).6.【答案】:B【解析】:根据题意得f′(x)=2x+2f′(0)+cosx，令x=0，可得f′(0)=2f′(0)+1，解得f′(0)=−1，故选B.7.【答案】:B【解析】:∵f′(x)=lnx+1+2 017，∴f′(x0)=lnx0+2 018=2 019，∴lnx0=1，解得x0=e.故选B.8.【答案】:C【解析】:函数f(x)=alnx+2，则f′(x)=ax，若f′(e)=ae=2，则a=2e，故选C.9.【答案】:(1,3)【解析】:由题意知y′=3x＋1=4，解得x=1，此时4×1−y−1=0，解得y=3，所以点P0的坐标是(1,3).10.【答案】:ex(cos x−sin x)−1【解析】:f′(x)=excosx+ex(−sinx)−1=ex(cosx−sinx)−1.

511.【答案】:−34【解析】:因为f(x)=3xf′(2)+ln⁡x,所以f′(x)=3f′(2)+1x，令x=2，可得f′(2)=3f′(2)+12，解得f′(2)=−14，故f(x)=−34x+lnx，则f(1)=−34.12.【答案】:2【解析】:根据题意，设x<0，则−x>0，则f(−x)=ln⁡(−x)−3×(−x)=ln(−x)+3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)=ln(−x)+3x，则f′(x)=1x+3，所以f′(−1)=1−1+3=2.13.【答案】:−1或−2564【解析】:设过点(1，0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x03)，则切线方程为y−x03=3x02(x−x0)，即y=3x02x−203，又点(1，0)在切线上，所以x0=0或x0=32.当x0=0时，由直线y=0与曲线y=ax2+154x−9相切，可得a=−2564；当x0=32时，由直线y=274x−274与曲线y=ax2+154x−9相切，可得a=−1.综上可知，a=−1或−2564.14(1)f′(x)=(1+sin x)′(1−4x)+(1+sin x)(1−4x)′=cos x(1−4x)−4(1+sin x)=cos x−4xcos x−4−4sin x.(2)f(x)=xx+1−2x=1−1x+1−2x，则f′(x)=1(x+1)2−2xln 2.15

6(1)由7x−4y−12=0，得y=74x−3.当x=2时，y=12，∴f2=12.①又f′(x)=a+bx2，∴f′(2)=74.②由①②得2a−b2=12，a+b4=74，解得a=1，b=3，故f(x)=x−3x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)=1+3x2知，曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y−y0=1+3x02(x−x0)，即y−x0−3x0=1+3x02(x−x0).令x=0，得y=−6x0，从而得切线与直线x=0的交点坐标为0，−6x0.令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0).故曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为12×−6x0×|2x0|=6，故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.16(1)由题易得f′(x)=3x2−6x+2，f″(x)=6x−6.令f″(x)=6x−6=0，得x=1，因为f(1)=1−3+2−2=−2，所以“拐点”A的坐标为(1,−2).(2)设P(x0,y0)是f(x)图像上任意一点，则y0=x03−3x02+2x0−2，P(x0,y0)关于“拐点”A(1,−2)的对称点为P′(2−x0,−4−y0).因为−4−y0=−x03+3x02−2x0−2，(2−x0)3−3(2−x0)2+2(2−x0)−2=−x03+3x02−2x0−2，所以点P′(2−x0,−4−y0)在f(x)的图像上，所以f(x)的图像关于“拐点”A对称.