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第五章函数函数也叫映射，交换，是数学中的一个基本概念，在高数中，函数的概念是从变量的角度提出来的，这种函数一般是连续或间断连续的函数，这里将连续函数的概念推广到离散量的讨论，即将函数看作一种特殊的二元关系。
15.1函数的基本概念定义5.1：设f是集合A到B的关系，如果对每个xA，都存在唯一yB，使得f，则称关系f为A到B的函数(Function)，记为f:A→B。当f时，正常记为y=f(x)，x称为自变量，y为x在f下的函数值。(1)domf=A，称为函数的定义域；(2)ranfB，称为函数的值域，ranf也可记为f(A)，为A在f下的像；(3)；(4)|f|=|A|；(5)f(x)仅表示一个变值，f表示一个集合，∴
25.1函数的基本概念例5-1：判断下图的关系是否是函数：
35.1函数的基本概念例5-2：设A={a，b}，B={1,2}，则A×B={，，，}，此时A到B的不同关系有16个；A到B的不同的函数有4个；(1)A×B的任何一个子集，都是A到B的关系，因此，从A到B的不同的关系有个，但从A到B的不同的函数却只有个；(2)每个函数的基数为|A|，但关系的基数可以为0一直到|A|×|B|；(3)每个函数的第一个元素一定互不相同；(4)将A到B的一切函数构成的集合记为
45.2函数的性质定义5.2：设f是从集合A到B的函数：(1)对，则称f为从A到B的单射(Injection)；(2)若ranf=B，则称f为A到B的满射(Surjection);(3)若f既是单射，又是满射，则称f为从A到B的双射(Bijection)或一一映射；(4)若A=B，则称f为A上的函数，当A上的函数f是双射，称f为变换(Transform)。(1)f是单射的必要条件为|A|≤|B|，(2)f为满射的必要条件为|B|≤|A|，(3)f为双射的必要条件为|A|=|B|。
55.2函数的性质例5-3：确定下列关系哪些是函数，若是函数，是否是单射，满射，双射。(1)设A=B=R，(2)解：(1)：R到R的函数，：R到R的双射函数，：不是R到R的函数，：R到R的单射函数，：不是R到R的函数；(2)f为到R的双射函数。
65.2函数的性质例5-4：设是偏序集，对，证(1)f是A到ρ(A)的单射函数，且(2)证明：(1)∴f是A到ρ(A)的映射；①：若a，b存在偏序关系，不妨设a≤b，由于“≤”是反对称的，，从而，而“≤”自反，∴b≤b，即
75.2函数的性质②若a，b不存在偏序关系，则，从而，而“≤”自反，即∴f是A到ρ(A)的单射；(2)由传递性，有y≤b,定理5.1：设A，B是有限集合，且|A|=|B|，f是A到B的函数，则f是单射当且仅当f是满射。
85.2函数的性质证明：必要性：设f是单射，f是A到f(A)的满射，∴f是A到f(A)的双射，因此|A|=|f(A)|，由于|f(A)|=|B|，且，得f(A)=B，∴f是A到B的满射；充分性：设f是满射，由于f是A到B的满射，∴f也是到B的满射，故即f是A到B的单射。
95.3函数的复合运算定义5.3：常函数，恒等函数，单调函数，特征函数，自然映射。定理5.2：设F，G是函数，则FοG也是函数，且满足：(1)(2)
105.3函数的复合运算例5-5：设f:R→R，g:R→R，h:R→R，满足有关关系运算的一切定理都可推广到函数中来。定理5.3：设f:A→B，g:B→C，(1)如果f，g满射，则fοg:A→C满射；(2)若f，g单射，则fοg:A→C单射；(3)若f，g双射，则fοg:A→C双射。
115.3函数的复合运算定理5.4：设f:A→B，g:B→C，则fοg:A→C，(1)若fοg:A→C满射，则g满射；(2)若fοg:A→C单射，则f单射；(3)若fοg:A→C双射，则g满射，f单射。
125.4函数的逆运算定理5.5：若f:A→B是双射的，则f的逆关系是B到A的双射。
135.4函数的逆运算只有双射函数的逆关系才是函数，其它函数的逆关系都不是函数。定理5.6：设f:A→B，双射，则定义5.5：设f:A→B，双射，则为f的逆函数或反函数(InverseFunction)。例5-6：设f:R→R满足
145.5置换定义5.6：设A是有限集合，A={}，从A到A的双射函数称为A上的置换或排列，记为P:A→A，n称为置换的阶(Order)。n阶置换P:A→A常表示为：(1)(2)P的逆函数称为逆置换；(3)两个置换的复合就是将它们作为函数求复合函数。
155.5置换假设P:A→A为n阶置换，A={}，对考虑序列，由于{}是有限集，则存在最小正整数，使得其中互不相同。称为阶的一个循环。当时，至少有一个，不包含在中；对重复相同的过程，可得
165.5置换若的循环与的循环没有相同的元素时，称它们不相交；继续这个过程，A={}可以被分成若干子集，这些子集组成不同的循环把它们写在一起，称为置换的积(Product)。例5-7：
175.5置换解：a的循环为，即(a，h，c，b，g)；d的循环为，即(d，f)；e的循环为(e)。置换P被分成不相交的循环的积为(a，h，c，b，g)(d，f)(e)。
