电路模拟方法在数学建模中的应用(1)

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第2l卷第7期工程数学学报Vo1．21No．720o4年l2月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2004文章编号：1005—3085(2004)07·0043—06电路模拟方法在数学建模中的应用史弋宇，谢必克，毛燕杰指导教师：清华大学指导小组(清华人学电了T程系，北京100084)编者按：本文的特点是采用电路模拟方法来建模，求解商区的消费需求。将商区的结构图类比成电路结构图，将人流量类比为电流最，通过电阻设置控制电

2、流最，并通过计算电阻的电压而准确计算出商区的消费需求。摘要：本文采用电路模拟的l方法米颅~2008年北京奥运会体育场馆周围商区的消费需求情况。首先根据道路拓扑结构提取出棚应电路结构，在每条胃!线(代表道路)砹置‘个较人的挖制电阻，根据电阻的阻值控制人流的流动舰律，使电流和人流·样按一定比例选择可行的道路t同时每条导线上=串联一个较小的采样电阻，根据该电阻卜的电J可求得陔fl{i区的人流或消费需求。关键词：拓扑结构；电路模拟：消费流量；人流；非线性脱划分类号：AMS(2000)90C30中图分类号：O221．2文

3、献标识码：A1方法概述为了预~2oo8年北京奥运会体育场馆刷嗣商的消费需求情况，我们首先分析了模拟运动会的观众调查问卷，准确估计了2008年北京奥运会时，到达奥运场馆附近各个车站的观众数景，各个餐饮中心的观众数晕，以及这些观众的消费水和路径选择规律。根据这些数据和规律就可以将分析人流的问题转化为一个分析电流电压的电路问题。由道路拓扑结构图提取电路图的方法和步骤如下：1节点的设置每个商的巾心、车站、餐饮中心都作为电路的节点。2电流源的设置电流源代表车站、看台、饮食地点等人流的出发地和目的地，电流源的大小相应地代表

4、出发的人流最或消费流晕，以及会聚r丁目的地的人流景或消费流最。电流源的方向均与人流方向一致，电流源均为正值。出发地的电流源总和要与目的地的电流源的总和相等。实际问题巾存在多个人流的出发地时，应采用叠加原理，利用电路模型分别计算各个出发地的人流在商积累的人流景或消费流量，最后叠加得到商总的人流量和消费流量。3‘电阻和导线的设置根据道路结构，在可以直接连通的节点之问用导线连接，代表道路。在每个导线上串联两个阻值为不同数最级的电阻。其巾大电阻的设置是为了控制人流的移动规律，其大小基本和人流可能选择该道路的概率成反比。

5、小妨称该电阻为控制电阻。小电阻的设置是为了反映消费最或人流景与电流大小之问的比例系数。这样通过测量电阻上的电压降就可以直接得到消费景或人流最。妨称该电阻为采样电阻。2合理性论证在用电路模犁分析人流『日J题时，最关键的『日J题是要保证每条道路上实际经过的人流量与电路模型巾对应导线上的电流最对应相等。下面分两步沦证这一J。1当只有一个人流的出发地和多个人流的目的地时：维普资讯http://www.cqvip.com_r：程数学学报第21卷由一个出发地出发的人流通过某条特定道路的概率是一定的，那么通过调整各个道路的控

6、制电阻的大小，总可以使各个导线上的电流最与道路上实际经过的人流量相同。一般而言，由于事先并不知道每条道路上实际人流量的大小，这时取各个道路的对应控制电阻与人流通过该条道路的概率成反比。2当有多个人流的出发地和多个人流的目的地时：不同的出发地出发的人流通过某条特定道路的概率是不同的，但是一条道路只有一个对应的控制电阻控制电流流动，也就是说它对同电流源产生的电流的作用却是相同的。这种情况下就无法保证各个导线上的电流量与道路上实际经过的人流最相同。考虑到人流流动与电流流动都满足线性叠加原理。可以将有多个人流的出发地的

7、问题分解为多个只有一个人流的出发地的问题。分别计算了各个出发地的人流在商区积累的人流量或消费流量，最后叠加得到商区总的人流最和消费流帚。3实际运用下_血运用这个方法来处理实际问题：根据2008年北京奥运会的实际地图，可以抽象得到简化图如图l所永：_⋯一舳一—嘲。壤离麓秘螭—嘲■——鞫鲴帮震嘲霸醴舅舅一鼍舅曼J嘲黑疆黼％圈一--簧鬻豳露鬣羹薹霪羹鏖：一ll_____一曩_曩一l一_雾⋯一一黼一翻—一_■箧整霞童爨-誓曩·奠霞l褥辫鳕霞黎萋鏊羹羹菱曩—■鼬鼬一一一鞫盛鹱羹—壤雾图1：2008年北京奥运会简化地图为了

8、简化问题，我们假定人流的流动符合最短路规则。那么肯人流通过的道路的对应控制电阻应很小，而没有人流通过的道路上的对控制电阻比其他道路的控制电阻大数个数幂级，以此保证电流的流动也符合最短路径规则。根据上文描述的方法以及人流的流动规律的假设，可以由简化图得到图2所／J的电路图。利用这个电路图具体计算由私车车站(图1)出发的人流到达个体育场馆的过程巾，各个商积累的消费总晕。已经得到的基本数据有