天津市耀华中学2020-2021学年高一下学期期中形成性检测数学Word版含解析

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2020-2021学年天津市耀华中学高二下学期期中考试数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若随机变量ξ的分布列如表所示，则p1等于（　　）ξ﹣124Pp1A．0B．C．D．12．在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（　　）A．20B．﹣20C．15D．﹣153．设曲线f（x）＝ax2在点（2，4a）处的切线与直线4x﹣y+4＝0垂直，则a＝（　　）A．2B．﹣C．D．﹣14．f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（　　）A．B．C．D．5．若（+）5的展开式中x的系数为15，则a＝（　　）A．2B．3C．4D．56．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（　　）A．240种B．360种C．480种D．720种

17．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（　　）A．B．C．D．8．记（1﹣x）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，则a0+a2+a4+a6＝（　　）A．81B．365C．481D．7289．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）10．设函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）＝，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣∞，e2+]B．（0，e2+]C．（e2+，+∞]D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.11．在（2+）6的展开式中，常数项等于　　．12．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别，任取3球，记其中黑球数为X，则E（X）＝　　．13．设甲乘汽车、火车前往目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点达到目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为　　．14．若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为　　．15．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有　　种．16．已知a，b∈R，直线y＝ax﹣b与函数f（x）＝x2的图象在x＝1处相切，设g（x）＝ex﹣bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m的最大值是　　．三、解答题：本大题共3小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上.17．某合资企业招聘夫学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为．（Ⅰ）求该小组中女生的人数：

2（Ⅱ）若该小组中每个女生通过测试的概率均为，每个男生通过测试的概率均为；现对该小组中女生甲、女生乙和男生丙、男生丁4人进行测试，记这4人中通过测试的人数为随机变量X．求X的分布列和数学期望．18．函数f（x）＝x3+﹣6x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）函数g（x）＝f（x）+﹣ax（a∈R）在区间（﹣1，1）上是单调递减函数，求a的取值范围．19．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）＝af（x）+x2﹣2x﹣有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．

3参考答案一、选择题（共10小题）.1．若随机变量ξ的分布列如表所示，则p1等于（　　）ξ﹣124Pp1A．0B．C．D．1解：由随机变量ξ的分布列，知：＝1，解得p1＝．故选：B．2．在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（　　）A．20B．﹣20C．15D．﹣15解：由（﹣）6的展开式的中间一项为第4项，则其二项式系数为＝20，故选：A．3．设曲线f（x）＝ax2在点（2，4a）处的切线与直线4x﹣y+4＝0垂直，则a＝（　　）A．2B．﹣C．D．﹣1解：f（x）＝ax2，则f′（x）＝2ax，因为在点（2，4a）处的切线与直线4x﹣y+4＝0垂直，所以f′（2）＝4a＝﹣，所以a＝﹣，故选：B．4．f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（　　）

4A．B．C．D．解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．则符合上述条件的只有选项A．故选：A．5．若（+）5的展开式中x的系数为15，则a＝（　　）A．2B．3C．4D．5解：（+）5的展开式通项公式Tk+1＝＝ak，令＝1，解得k＝1，∴a×＝15，则a＝3，故选：B．6．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（　　）A．240种B．360种C．480种D．720种解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有＝480种．故选：C．

57．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（　　）A．B．C．D．解：在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这时，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为＝，故选：D．8．记（1﹣x）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，则a0+a2+a4+a6＝（　　）A．81B．365C．481D．728解：∵（1﹣x）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+……+a6（x+1）6，令x＝0，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1①，再令x＝﹣2，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝36＝729②，②加①后再除以2，可得a0+a2+a4+a6＝365，故选：B．9．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）解：设，则，∵当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，∴当x＞0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴是偶函数，即当x＜0时，g（x）为增函数．∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，当x＞0时，f（x）＞0等价为，即g（x）＞g（1），此时0＜x＜1，当x＜0时，f（x）＞0等价为，即g（x）＜g（﹣1），此时x＜﹣1，综上不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故选：B．10．设函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）＝，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

6A．（﹣∞，e2+]B．（0，e2+]C．（e2+，+∞]D．（﹣e2﹣，e2+]解：∵f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）＝，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx＝0有解，则m＝＝﹣x2+2ex+，m′＝﹣2x+2e+＝﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m＝﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+＝e2+；又∵当x+→0时，m＝﹣x2+2ex+→﹣∞，故m≤e2+；故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上.11．在（2+）6的展开式中，常数项等于　160　．解：（2+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝＝26﹣rx3﹣r，令3﹣r＝0，可得r＝3，所以常数项为23＝160．故答案为：160．12．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别，任取3球，记其中黑球数为X，则E（X）＝　　．解：由题意可知，黑球数X服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布，

7则E（X）＝＝＝．故答案为：．13．设甲乘汽车、火车前往目的地的概率分别为0.6、0.4，汽车和火车正点达到目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为　0.86　．解：设事件A为甲正点到达目的地，则P（A）＝0.6×0.9+0.4×0.8＝0.86．故答案为：0.86．14．若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为　　．解：恰有两次击中目标的概率为••＝，恰有三次击中目标的概率为•＝，故至少有两次击中目标的概率为+＝，故答案为：．15．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有　144　种．解：根据题意，分2步进行分析：①先安排三名男生，将甲乙看成一个整体，与丙全排列，有A22A22＝4种排法，男生排好后，有3个空位可选；②将三名女生分为1、2的两组，将这两组安排在空位中，有C32A22A32＝36种排法，则有4×36＝144种不同的站法；故答案为：144．16．已知a，b∈R，直线y＝ax﹣b与函数f（x）＝x2的图象在x＝1处相切，设g（x）＝ex﹣bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m的最大值是　e+1　．解：∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴a＝f'（1）＝2，又点（1，1）在直线y＝ax﹣b上，∴b＝1，∴g（x）＝ex﹣x2+2，g'（x）＝ex﹣2x，设m（x）＝ex﹣2x，则m'（x）＝ex﹣2，当x∈[1，2]时，m'（x）＞m（1）＝e﹣2＞0，

8∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g'（1）＝e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，，解得m≤﹣e或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1．故答案为：e+1．三、解答题：本大题共3小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上.17．某合资企业招聘夫学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为．（Ⅰ）求该小组中女生的人数：（Ⅱ）若该小组中每个女生通过测试的概率均为，每个男生通过测试的概率均为；现对该小组中女生甲、女生乙和男生丙、男生丁4人进行测试，记这4人中通过测试的人数为随机变量X．求X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设该小组中有n个女生，由题意，得＝，解得n＝6或n＝4（舍），所以该小组有6名女生；（Ⅱ）由题意，X的取值为0，1，2，3，4P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝++＝，P（X＝3）＝+＝，P（X＝4）＝＝．所以X的分布列为：X01234P

9所以EX＝0×+1×+2×+3×+4×＝18．函数f（x）＝x3+﹣6x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）函数g（x）＝f（x）+﹣ax（a∈R）在区间（﹣1，1）上是单调递减函数，求a的取值范围．解：（1）∵，∴f′（x）＝3x2+3x﹣6，∴f′（0）＝﹣6，因此，曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程y﹣1＝﹣6x，即6x+y﹣1＝0．（2）∵，g′（x）＝3x2+（a+3）x﹣（a+6）＝（3x+a+6）（x﹣1），令g′（x）＝0，得或x＝1，由于函数y＝g（x）在区间（﹣1，1）上是单调递减函数，则，解得a≥﹣3，因此，实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．19．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若g（x）＝af（x）+x2﹣2x﹣有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）a＝1时，f（x）＝lnx+，定义域是（0，+∞），∴f′（x）＝﹣＝，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故当x＝1时函数有极小值f（1）＝1，无极大值；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝﹣＝，

10①a≤0时，x﹣a＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（3）g（x）＝af（x）+x2﹣2x﹣＝alnx+x2﹣2x，定义域是（0，+∞），g（x）有2个极值点x1，x2（x1＜x2），即g′（x）＝+2x﹣2＝＝0，则2x2﹣2x+a＝0有2个不相等实根x1，x2（0＜x1＜x2），∴△＝4﹣8a＞0，a＞0，解得：0＜a＜，且x1+x2＝1，a＝2x1﹣2从而0＜x1＜＜x2＜1，由不等式g（x1）≥mx2恒成立，得m≤＝＝（1﹣x1）﹣+2x1lnx1恒成立，令h（t）＝1﹣t﹣+2tlnt（0＜t＜），当0＜t＜时，h′（t）＝1﹣+2lnt＜0恒成立，故函数h（t）在（0，）上单调递减，∴h（t）＞h（）＝﹣﹣ln2，故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣﹣ln2]．