第三章--函数

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第三章函数３．１函数的概念３．２函数的表示法３．３函数的单调性３．４函数的奇偶性３．５反函数３．６待定系数法３.７函数的应用

1３．１函数的概念复习初中学过的函数概念，在函数ｙ＝ｘ２中，对ｘＲ的每一个确定的值，按照对应法则：“平方”，都有唯一确定的ｙ值与它对应，例如这时，我们说ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，函数ｙ常称做因变量，实数集Ｒ是该函数的定义域，非负实数集是该函数的值域．下一页返回

2３．１函数的概念从这个例子可以看到两个重要的事实：（１）通过对应法则，把实数集中的数变到非负实数集中去；（２）对实数集中的每一个实数，在非负实数集中有且仅有一个值与之对应．由上述分析可以看到，函数关系实质上就是从自变量ｘ的集合到函数值ｙ的集合的一种对应关系．一般地，设Α，Ｂ是两个非空的集合，如果按照某种对应法则ｆ，对于集合Α内任一个元素ｘ，在集合Ｂ中都有唯一个元素ｙ与之对应，则称ｆ：Α→Ｂ为从集合Α到集合Ｂ的一个函数，记作：ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Α．其中ｘ叫做自变量，ｘ的取值范围Α叫做函数的定义域：与ｘ的值相对应的ｙ值叫做函数值，函数值的集合｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈Α｝叫做函数的值域．上一页返回

3３．２函数的表示法函数的表示法通常以下有三种：１．解析法把两个变量之间的函数关系用等式来表示，这种表示函数的方法叫做解析法，这个等式叫函数的解析表达式，简称解析式．２．列表法把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数关系，这种方法叫做列表法．下一页返回

4３．２函数的表示法３．图象法把自变量ｘ的一个值和函数ｙ的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象，用图象表示两个变量之间的函数关系的方法叫做图象法．上一页返回

5３．３函数的单调性一般地，对于给定区间上的函数ｆ（ｘ）：１．如果对于这个区间上的任意两个值ｘ１、ｘ2当ｘ１＜ｘ2时都有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ2），那么就说ｆ（ｘ）在这个区间上是增函数（或单调递增函数），增函数的图象是沿ｘ轴的正方向，即从左向右逐渐上升的（如图３－３（ｄ））．２．如果对于这个区间上的任意两个值ｘ１，ｘ2，当ｘ１＜ｘ2时都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ2），那么就说ｆ（ｘ）在这个区间上是减函数（或单调递减函数），减函数的图象是沿ｘ轴的正方向，即从左向右逐渐下降的（如图３－３（ｅ））．函数ｙ＝ｆ（ｘ）在某个区间上单调递增或单调递减，叫做ｆ（ｘ）在这个区间上的单调性，这个区间叫做ｆ（ｘ）的单调区间．返回

6３．４函数的奇偶性在作函数的图像时，可以看到，ｆ（ｘ）＝２ｘ的图像关于原点对称，ｆ（ｘ）＝ｘ２的图像关于ｙ轴对称，如图３－６所示；从函数的解析式也可以发现，当ｘ取两个相反数的值时，ｆ（ｘ）＝２ｘ的函数值是两个互为相反的数，而ｆ（ｘ）＝ｘ２的两个函数值相等．一般地，对于函数ｆ（ｘ）：１．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）对其定义域Ｄ内任意一个ｘ值，且－ｘ∈Ｄ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）叫做偶函数．２．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）对其定义域Ｄ内任意一个ｘ值，且－ｘＤ，都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）叫做奇函数．下一页返回

7３．４函数的奇偶性根据上述定义，可以看出：如果ｆ（ｘ）是偶函数，则点（ｘ，ｆ（ｘ））与点（－ｘ，ｆ（－ｘ））都是ｆ（ｘ）的图像，这两点关于ｙ轴对称的．如果ｆ（ｘ）是奇函数，则点（ｘ，ｆ（ｘ））与点（－ｘ，ｆ（－ｘ））都是ｆ（ｘ）的图像，这两点是关于原点对称的，于是可以推出：一个函数是偶函数的充要条件是：它的图像关于ｙ轴对称，属于轴对称图形，如图３－７（ａ）所示．一个函数是奇函数的充要条件是：它的图像关于原点对称，属于中心对称图形，如图３－７（ｂ）所示．上一页返回

8３．５　反函数一般地，函数ｙ＝ｆ（ｘ）中，ｘ是自变量，ｙ是ｘ的函数，设它的定义域为Α，值域为Ｂ，根据函数ｙ＝ｆ（ｘ）中ｘ，ｙ的关系，用ｙ把ｘ表示出来，得到ｘ＝（ｙ），如果对于ｙ在Ｂ中的任何一个值，通过ｘ＝（ｙ），ｘ在Α中都有唯一的一个值和它对应，那么ｘ＝（ｙ）就表示ｙ是自变量，ｘ是自变量ｙ的函数，这样函数ｘ＝（ｙ）（ｙ∈Ｂ）叫做函数ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Α）的反函数，记作ｘ＝ｆ－１（ｙ）．由于习惯用ｘ表示自变量，用ｙ表示自变量的函数，因此把它改写成ｙ＝ｆ－１（ｙ）．返回

9３．６待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式（如一次函数为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，二次函数为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ），可先把所求的函数写成一般形式，再根据已知条件列方程（组），求出它的系数，这种通过求待定系数确定变量之间关系的方法叫做待定系数法．返回

10３.７函数的应用一次函数和二次函数在许多实际问题中有重要应用，下面举些例子来说明．例１　某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票的费用ｙ（元）是行李质量ｘ（千克）的一次函数，其图像如图３－１１所示．求：（１）ｙ与ｘ之间的函数解析式．（２）旅客最多可以免费携带行李的重量．解：（１）设一次函数表达式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ因为当ｘ＝６０时ｙ＝６；当ｘ＝８０时ｙ＝１０下一页返回

11３.７函数的应用解得：所以所求函数解析式是（２）ｙ＝０时，ｘ－６＝０，解得ｘ＝３０所以旅客最多可免费携带３０千克行李．上一页返回

12图３－３返回

13图３－６返回

14图３－7返回

15图3-11返回