2022年全国甲卷数学(理科)高考真题及答案

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2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,则()A.B.C.D.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设全集,集合,则()

1A.B.C.D.4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()A.8B.12C.16D.205.函数在区间的图像大致为()A.B.C.D.6.当时,函数取得最大值,则()A.B.C.D.17.在长方体中,已知与平面和平面所成的角均为,则()A.B.AB与平面所成的角为C.D.与平面所成的角为8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:.当时,()

2A.B.C.D.9.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则()A.B.C.D.10.椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线的斜率之积为,则C的离心率为()A.B.C.D.11.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是()A.B.C.D.12.已知,则()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设向量,的夹角的余弦值为,且,则_________.14.若双曲线的渐近线与圆相切,则_________.15.从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为________.

316.已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时,________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)记为数列的前n项和.已知.(1)证明:是等差数列;(2)若成等比数列,求的最小值.18.(12分)在四棱锥中,底面.(1)证明:;(2)求PD与平面所成的角的正弦值.19.(12分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.20.(12分)设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,.(1)求C的方程;(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.21.(12分)

4已知函数.(I)若,求a的取值范围;(2)证明:若有两个零点,则.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),曲线的参数方程为(s为参数).(1)写出的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,求与交点的直角坐标,及与交点的直角坐标.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a,b,c均为正数,且,证明:(1);(2)若,则.

52022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学参考答案注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14.15..16.##三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(1)解:因为,即①,当时,②,①②得,,

6即,即,所以,且,所以是以为公差的等差数列.(2).18.(1)证明:在四边形中,作于,于,因为,所以四边形为等腰梯形,所以,故,,所以,所以,因为平面,平面,所以,又,所以平面,又因平面,所以;(2).19.(1);(2)分布列见解析,.【解析】依题可知,的可能取值为,所以,,,,

7.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.20.(1);(2).21.已知函数.(1)(2)由题知,一个零点小于1,一个零点大于1不妨设要证,即证因为,即证因为,即证即证即证下面证明时,设,

8则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以;综上,,所以.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(1);(2)的交点坐标为,,的交点坐标为,.

9[选修4-5:不等式选讲]23.(1)证明:由柯西不等式有,所以,当且仅当时,取等号,所以;(2)证明:因为,,,,由(1)得,即,所以,由权方和不等式知,当且仅当,即,时取等号,所以

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