《金融数学》(3)变额年金

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变额年金（VaryingAnnuities）孟生旺

12主要内容离散变额年金（每年变化一次）每年支付1次的离散变额年金（递增、递减、复递增）每年支付m次的离散变额年金（递增、递减、复递增）连续支付的离散变额年金（递增、递减、复递增）连续变额年金（连续变化）一般形式的连续变额现金流特例：连续递增（或递减）的年金

23递增年金（increasingannuity）期末付递增年金(increasingannuity-immediate)：第一年末支付1元，…，第n年末支付n元。现值：上式两边乘以(1+i)：

34递增年金的现值：

45例：写出下述年金的现值表达式

56递增年金的累积值为现值累积值期初付递增年金(increasingannuity-due)

67当时，还可以得到递增永续年金的现值为在计算上述极限时，递增永续年金(increasingperpetuity)

78例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？解：年金分解如下：10001100180019009009009009001002009001000

89Exercise：Aninvestmentof700istobeusedtomakepaymentsof10attheendofthefistyear,20attheendofsecondyear,30attheendofthirdyear,andsoon,everyyearassolongaspossible.Asmallerfinalpaymentispaidoneyearafterthelastregularpayment.Thefundearnsaneffectiveannualrateof5%.Calculatethesmallerfinalpayment.700102030R

910700102030R解：

1011解上述方程（应用excel求解）即得n=14.49。因此有14次正规支付和在第15年末有一次小额支付。设小额支付为R，则

1112时期0123…n–1n递减年金nn–1n–2…21等额年金111…11111…1111…………111111期末付递减年金(decreasingannuity-immediate)：第1年末支付n元，…，第n年末支付1元。2、递减年金（decreasingannuity）

1213递减年金的现值：

1314递减年金的其他公式：

14问题：递减年金与递增年金之和的现值是多少？15

1516例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为12nn‒11

1617

17练习：一项20年期的年金，每年末的付款金额如下。年实际利率为6%，计算其现值。18年份金额160027003800490051000611007120081300914001015001114001213001312001411001510001690017800187001960020500

1819年份金额分解16005001002700500200380050030049005004005100050050061100500600712005007008130050080091400500900101500500100011140050090012130050080013120050070014110050060015100050050016900500400178005003001870050020019600500100205005000解：

19Example：Findthepresentvalueofanannuityimmediatesuchthatpaymentsstartat1,eachpaymentthereafterincreasesby1untilreach10,andthenremainatthatleveluntil25paymentsintotalaremade.0101011025次数：金额：212

20Solution：0101011025次数：金额：212

2122复递增年金（compoundincreasingannuity）含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。期初付复递增年金：注：r<0，递减。

2223令，则：其中

2324期末付复递增年金的现值：其中

2425例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这项年金在时刻零的现值。解：年金的现金流如下：

2526现值：其中

26例：年金的年增长率r与年利率i相等，则j=0.计算期初付年金与期末付年金的现值。解：期初付=n期末付=n/(1+i)27

2728ExerciseAperpetuity-immediatepays100peryear.Immediatelyafterthefifthpayment,theperpetuityisexchangedfora25-yearannuity-immediatethatwillpayXattheendofthefirstyear.Eachsubsequentannualpaymentwillbe8%greaterthantheprecedingpayment.Immediatelyafterthe10thpaymentofthe25-yearannuity,theannuitywillbeexchangedforaperpetuity-immediatepayingYperyear.Theannualeffectiverateofinterestis8%.CalculateY.

28100100100100100第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250100X1.08X1.082X1.083X1.0824X利率i＝0.08，等于年金增长率，故递增年金的现值为：P=X·n/(1+i)=25X/1.08X=541250=25X/1.08第一次替换后的递增年金：25次付款

2930X1.089X1.0810X1.0824X第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08价值方程(X=54)为：Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)=54(1.08)9·15注：v=1.08-1由此可得：Y=129.5Y……原年金剩余15次原年金已支付10次

30年金的基本类型311年支付1次1年支付m次连续支付

3132在等额年金中，分m次支付，年金价值的变化：在变额年金中，上述结论仍然成立。

3233在等额年金中，连续支付，年金价值的变化：在变额年金中，上述结论仍然成立。

33每年支付m次的期末付变额年金34

3435每年支付m次的期末付变额年金

3536每年支付m次的期初付变额年金

3637例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：100100100100200200200200012

3738100200300400500600700800012例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：

3839连续支付的变额年金(continuouslypayablevaryingannuity)连续支付，但支付金额离散变化。连续支付的递增年金连续支付的递减年金连续支付的复递增年金连续支付的任意变额年金

3940连续支付的递增年金：第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元。

4041连续支付的递减年金：第一年连续支付n元，第二年连续支付n-1元，…，第n年连续支付1元。

4142连续支付变额年金的价值（V）

4243例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年利率为5%，求这项年金的现值。解：分解为两项年金:

4344计算：

4445连续支付的递增永续年金的现值：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为

4546一般形式的连续变额现金流现值：付款从时刻a到时刻b，在时刻t的付款率为r(t)，利息力为d(t)。时刻t支付的1在时刻0的现值为：

4647在时刻t的付款率为r(t)，在区间[t,t+dt]的付款为r(t)dt，所有付款在时刻0的现值是将所有付款的现值加总：

4748例：一个连续支付的现金流支付期从时刻0开始，到时刻0.5结束在时刻t的付款率为利息力为计算此现金流在时刻零的现值。解：

4849令现值为：（课后）

4950终值：在时刻t的1元，累积到时刻T的终值为

5051从时刻a到时刻b内所有付款到时刻T的终值，就是将该期间内所有付款的终值加总：

51例：一个连续支付的现金流，其付款率为，支付期间从t=1到t=6，利息力为。计算此现金流在t=9的终值。解：52

5253例：连续递增年金（continuouslyincreasingannuity）假设在时刻t的付款率（paymentrate）为t，常数利息力为d，则连续递增年金的现值为：注:I和a上都有横线。在时刻t的付款率为t，表示按此付款，1年的付款总量将为t.

5354证明：

5455例：一项10年期的年金，在时刻t的付款率为9t+6，利息力为9％。计算此项年金在时刻零的现值。解：

5556连续递增的永续年金：

5657例：一项年金在时刻t的付款率为3t，付款从0时刻起一直延续下去，年利率为5％，则其现值为：

5758例：连续递减年金(continuouslydecreasingannuity)支付期为n年，在时刻t的付款率为n-t，利息力为d。现值为：

58乘以(1+i)乘以乘以乘以年金计算公式之间的关系乘以

59变额年金：算数级数变化60

6061变额年金：几何级数变化

61递增年金递减年金复递增年金每年支付m次的变额年金连续支付的变额年金连续变额年金

6263Exercise:1000isdepositedintoFundX,whichearnsanannualeffectiverateof6%.Attheendofeachyear,theinterestearnedplusanadditional100iswithdrawnfromthefund.Attheendofthetenthyear,thefundisdepleted.TheannualwithdrawalsofinterestandprincipalaredepositedintoFundY,whichearnsanannualeffectiverateof9%.DeterminetheaccumulatedvalueofFundYattheendofyear10.

63X：annualeffectiverate6％10001001001001000×6%=60900×6%=54100×6%=6withdrawalsofprincipalwithdrawalsofinterest10916×Y：annualeffectiverate9％10010010010916×LevelannuityDecreasingannuity

64ExerciseAperpetuitycosts77.1andmakesannualpaymentsattheendoftheyear.Thisperpetuitypays1attheendofyear2,2attheendofyear3,…,nattheendofyear(n+1).Afteryear(n+1)，thepaymentsremainconstantatn.Theannualeffectiveinterestrateis10.5%.Calculaten.123n-1n……77.1i=10.5%123nyear：perpetuity：n+1n+2n

65Thecostofthisperpetuity=Sincei=10.5%,wehaveHencen=19Solution：