定积分-不定积分…微积分的区别

《定积分-不定积分…微积分的区别》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

定积分，不定积分…微积分的区别不定积分设F(ｘ)为函数ｆ（x)的一个原函数，我们把函数f（x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数）叫做函数ｆ（ｘ)的不定积分。记作∫f(x)dx。　　　其中∫叫做积分号,ｆ（x)叫做被积函数,x叫做积分变量，ｆ(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知:求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x）的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f（x）的不定积分。　也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数。定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分．第一种,是单纯的积分，也就是已知导数求原函数,而若Ｆ（x）的导数是f（x）,那么F（x)+C(C是常数)的导数也是f（x),也就是说，把f（ｘ)积分，不一定能得到F(x）,因为F(x）＋C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数，所以ｆ(ｘ)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)＋C代替,这就称为不定积分。而相对于不定积分，就是定积分.　所谓定积分，其形式为∫f(x）ｄx(上限a写在∫上面，下限ｂ写在∫下面）。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数，而不是一个函数。　定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分.用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b］上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.　我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?　定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿—莱布尼兹公式，它的内容是:若F＇(ｘ)=f（x)　那么∫f(x）　dx　（上限ａ下限b)=F(a)-Ｆ(b)

1　但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:Φ(x）＝ｘ(上限)∫a(下限)f（t)dt　牛顿－莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。　　正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿—莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.微积分积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。　一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：[F(ｘ）＋　C]’=f(ｘ）一个实变函数在区间［a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。积分ｉｎtegral从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的．例如：已知定义在区间I上的函数f(x)，求一条曲线y＝Ｆ(x)，x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′(x）＝f(x）。函数f(x）的不定积分是f（x）的全体原函数(见原函数),记作。如果F（x)是f（x)的一个原函数，则,其中C为任意常数．例如，定积分是以平面图形的面积问题引出的.y＝f(ｘ)为定义在［a，b〕上的函数,为求由x=ａ，x=b,y=０和y＝f(ｘ)所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲，求出S的近似值,再取极限得到所求面积S，为此,先将［ａ，b〕分成n等分：a=x0