线性系统的能控性和能观性

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Ch.4线性系统的能控性和能观性

1目录(1/1)目录概述4.1线性连续系统的能控性4.2线性连续系统的能观性4.3线性定常离散系统的能控性和能观性4.4对偶性原理4.5线性系统的结构性分解和零极点相消4.6能控规范形和能观规范形4.7实现问题4.8Matlab问题本章小结

2实现问题(1/2)4.7实现问题由于状态空间分析方法是现代控制理论的基础,因此,如何建立状态空间模型这一现代控制理论中的主要数学模型是进行系统分析和综合时首先要解决的问题。在第2章中已讨论了如何将传统的控制领域所应用的数学模型,如高阶微分方程和传递函数等,变换成状态空间模型。由系统的传递函数建立状态空间模型这类问题称为系统实现问题,而求得的状态空间模型称为相应的传递函数的一个实现。

3实现问题(2/2)下面,我们将首先介绍实现问题的定义和基本特性,然后再介绍两种系统实现方法--能控/能观规范形实现,最后讨论最小实现问题,给出最小实现的定义和最小实现的判据。由于高阶线性定常微分方程与传递函数具有一定的等价性,所以系统实现方法也同样可应用于由高阶线性定常微分方程建立状态空间模型。本节讨论的主要问题:1.基本定义:实现、最小实现2.基本方法:SISO系统能控/能观规范形的实现、MIMO系统的最小实现

4定义和基本特性(1/3)—实现的定义4.7.1定义和基本特性下面先讨论系统实现的定义。定义4-8对给定的真有理实矩阵函数G(s),如果能找到相应的线性定常连续系统的如下状态空间模型:并满足G(s)=C(sI-A)-1B+D则称该状态空间模型为G(s)的一个实现。

5定义和基本特性(2/3)上述系统实现定义中,要求传递函数阵G(s)为真有理实矩阵函数是指,G(s)的每一个元素的分子分母都为实系数多项式且分子的阶次小于或等于分母的阶次。下面讨论系统实现的基本特性:1.对任意给定的有理实矩阵函数G(s),只要满足物理上可实现的条件,即G(s)为真有理实矩阵函数(每个元素的分子多项式的阶次小于或等于分母多项式的阶次),则一定可以找到其实现,这就是实现的存在性问题。

6定义和基本特性(3/3)2.实现的实质是寻找一个其传递函数为所给定传递函数阵G(s)的状态空间模型。从系统传递函数阵出发,由于状态变量选择的非唯一性,一般可以构造出无数个状态空间实现。因此,实现具有非唯一性。3.在G(s)的实现(A,B,C,D)中,直联矩阵D为D=LimsG(s)因此,当G(s)为严格真的有理实矩阵函数,即其每个元素的分子多项式的阶次比分母多项式的低时,则D=0,而相应的实现为(A,B,C)。

7能控规范形实现和能观规范形实现(1/1)4.7.2能控规范形实现和能观规范形实现能控规范形实现和能观规范形实现是指由传递函数阵G(s)建立的状态空间实现分别为能控规范形和能观规范形。以下先讨论SISO系统的能控规范形和能观规范形实现,然后再讨论MIMO系统相应的实现问题。

8SISO系统的能控规范形实现(1/6)其中ai和bi(i=1,2,…,n)为实系数,则其能控规范I形实现的各矩阵分别为1.SISO系统的能控规范形实现若系统的传递函数G(s)为式中i如式(2-17)所示。

9SISO系统的能控规范形实现(2/6)能控规范II形实现的各矩阵分别为上述结论的证明为:由i的计算式(2-17),能控规范I形的传递函数为

10SISO系统的能控规范形实现(3/6)这证明了上述能控规范I形是G(s)的一个实现,即能控规范形实现。

11SISO系统的能控规范形实现(4/6)同样可以证明，上述能控规范II形是传递函数G(s)的一个实现。例4-23求如下SISO系统的能控规范I/II形实现:

12SISO系统的能控规范形实现(5/6)解对非严格真的传递函数进行长除法运算有上式的常数部分的实现为直联矩阵D,严格真传递函数部分的实现为Σ(A,B,C)。因此,由式(2-17)有

13SISO系统的能控规范形实现(6/6)则其能控规范I形实现为其能控规范II形实现为

14SISO系统的能观规范形实现(1/4)2.SISO系统的能观规范形实现若系统的传递函数G(s)为严格真的有理实矩阵函数,则其能观规范I形实现的各矩阵分别为式中i如式(2-17)所示。

15SISO系统的能观规范形实现(2/4)能观规范II形实现的各矩阵分别为上述结论的证明:能观规范II形的传递函数为

162.SISO系统的能观规范形实现(3/4)这证明了上述能观规范II形是G(s)的一个实现同样可以证明上述能观规范I形也是G(s)的一个实现。

17SISO系统的能观规范形实现(4/4)例4-23中的G(s)的能观规范I形实现为能观规范II形实现为

18MIMO系统的能控规范形和能观规范形实现(1/4)3.MIMO系统的能控规范形和能观规范形实现对于MIMO系统的传递函数阵,亦有类似于SISO系统传递函数的能控规范形实现和能观规范形实现。设给定的MIMO系统的传递函数阵为如下mr维的严格真的有理实矩阵函数其中B(s)为mr维的s的实多项式矩阵;A(s)为n阶标量多项式。

19MIMO系统的能控规范形和能观规范形实现(2/4)上述传递函数阵的能控规范II形实现的各矩阵分别为其中矩阵A,B,C和D的维数分别为(nr)(nr),(nr)r,m(nr)和mr。

20MIMO系统的能控规范形和能观规范形实现(3/4)而能观规范II形实现的各矩阵分别为其中矩阵A,B,C和D的维数分别为(nm)(nm),(nm)r,m(nm)和mr。上述MIMO系统的能控规范II形和能观规范II形的实现可仿照SISO系统的相应的结论的证明给出。这里不再赘述。

21MIMO系统的能控规范形和能观规范形实现(4/4)由上述结论可知,对同一传递函数阵的实现的维数(状态变量个数)还可以不同,能控规范形实现为nr维的,而能观规范形实现为nm维的。对同一传递函数阵存在不同维数的状态空间实现,这里就存在一个所实现的状态空间模型的维数是否为最小的问题?结构是否最简单的问题?

22最小实现(1/15)4.7.3最小实现由MIMO系统的能控规范形实现和能观规范形实现可知,由于状态变量的选择不同,对应于一个传递函数阵G(s)的实现不仅具有非唯一性,而且状态空间模型实现的维数还可能不同。对于实现问题,一般情况下,总是希望实现的的维数越少越好。这是因为,一般情况下,维数越小将使系统分析、设计和综合趋简单,控制系统易于实现,实现的成本也较低。在同一传递函数阵的所有实现中,总会存在一个状态变量的个数最小的实现,即系统的维数最小的实现。我们将维数最小的实现称为系统的最小实现。

23最小实现(2/15)—最小实现定理讨论最小实现是非常具有现实意义的。从工程角度看,最小实现反映了在保持系统性能的前提下,系统具有最简单的结构,工程应用简单,成本低。下面给出并证明最小实现的判别准则。定理4-21系统(A,B,C)是给定传递函数阵G(s)的最小实现的充要条件为系统状态能控又能观。证明1:先证充分性。采用反证法。即证明:设n维的(A,B,C)非系统G(s)的最小实现,但(A,B,C)是状态完全能控且完全能观。

24最小实现(3/15)—最小实现定理证明过程思路为：n维的(A,B,C)非G(s)的最小实现存在G(s)的另一低于n维的实现两个实现具有同样的输入输出关系,且各阶矩相等两个实现的能控性/能观性的秩小于n证明过程为设系统(A,B,C)是给定传递函数阵G(s)的一个维数为n的实现而非最小实现,但系统是状态完全能控且完全能观的。此时,G(s)必存在另一个实现(A~,B~,C~),其维数n~

25最小实现(4/15)因考虑到时间t和输入u(t)的任意性,故从上式可以导出由于系统和~都是G(s)的实现,则对任意的输入u(t),系统应有同样的输出y(t),即对上式两边连续求导,可得当t=0时,则得

26最小实现(5/15)因此,将CAiB和对应的按顺序排列,则有即列满秩,为n行满秩,为n列满秩,为n~行满秩,为n~秩为n秩为n~

27因已经假设系统(A,B,C)是状态能控又能观,所以上述等号左边矩阵的秩为n,而等号右边的矩阵的秩最大也仅为等号右边两个矩阵的行数和列数的最小值,即为n~,并有nn~。所以,与前面的假设矛盾。故系统是状态能控又能观的,则一定是最小实现。最小实现(6/15)

282.再证必要性。亦采用反证法。即证明:设n阶系统(A,B,C)是状态不完全能控或不完全能观的,但为G(s)的最小实现。证明过程的思路为:最小实现(7/15)(A,B,C)状态不能控/能观其能控能观子系统的维数小于n,但传函却等于(A,B,C)的传函G(s)能控能观子系统为G(s)维数小于n的实现(A,B,C)不为最小实现与假设矛盾,必要性得证

29证明过程：系统是状态不完全能控或不完全能观,根据能控能观分解定理(定理4-19),则一定可以进行能控分解或能观分解,所得的既完全能控又完全能观的部分的维数一定小于n,即小于系统的维数。由结构分解的性质可知,系统的传递函数G(s)等于其能控又能观的部分的传递函数。因此,系统的能控能观部分亦是G(s)的一个实现,该实现的维数小于系统的维数。这与前面假设系统是最小实现相矛盾。故系统是最小实现,则一定是状态完全能控且完全能观的。最小实现(8/15)

30根据上述判断系统最小实现的准则,可得构造线性定常系统最小实现方法的步骤如下:1.对给定的传递函数阵G(s)先找出一种实现(A,B,C),如用较方便的能控规范形或能观规范形实现。为降低系统实现的维数,减少计算量,当输入变量比输出变量多,即r>m时,采用能观规范形实现为宜;反之,当输出变量比输入变量多,即r

31最小实现(10/15)2.对所得的系统实现进行能控能观结构分解,所得的能控又能观的子系统则是G(s)的最小实现。若对能控规范形进行能观分解,对能观规范形进行能控分解,则可求得系统的最小实现。不管采用何种确定最小实现的方法,最后求得的最小实现应具有相同维数。

32最小实现(11/15)例4-24试求如下传递函数阵的最小实现。解是严格真的有理分式,直接将它写成按s降幂排列的标准格式系统各参数为

33最小实现(12/15)(1)采用能控规范II形实现由于能控规范II形(Ac,Bc,Cc)实现的是不能观的,即其为能控但不能观,不为最小实现,需进行能观性分解求取最小实现。

34最小实现(13/15)按照4.5节能观性分解方法,对能控规范II形实现进行能观分解后得到的能观子系统,即最小实现为

35最小实现(14/15)(2)采用能观规范II形实现由于能观规范II形(Ao,Bo,Co)的实现是能控的,即其为能控能观实现,为最小实现。

36最小实现(15/15)可以验证上述求得的两个实现均为所给定的Ｗ(s)的最小实现，并两者等价。