工程力学-应力状态与应力状态分析【可编辑范本】

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8应力状态与应变状态分析１、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析,3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。(1)过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:最大切应力为　(2)任斜截面上的应力(３）主应力的大小主平面的方位4、主应变5、广义胡克定律

1　，　　６、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。"解题范例８.1试画出下图８．１（ａ)所示简支梁Ａ点处的原始单元体。图８。1［解]（１)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取如下三对平面:A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到;与梁xy平面平行的一对平面,其中靠前的平面是自由表面,所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与ｘz平行的平面．截取出的单元体如图8。１(d）所示.(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图８.1(b）、（c)所示，将A点的坐标x、ｙ代入正应力和切应力公式得Ａ点单元体左右侧面的应力为:由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力t;前后边面为自由表面,应力为零。在单元体各面上画上应力,得到Ａ点单元体如图8。1(ｄ).8．2图8。2(a)所示的单元体,试求(１）图示斜截面上的应力;(２)主方向和主应力,画出主单元体;(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。

2[解］（1)求斜截面上的正应力和切应力图8.２由公式(2)求主方向及主应力最大主应力在第一象限中，对应的角度为，主应力的大小为由可解出因有一个为零的主应力,因此画出主单元体如图８.2(b）。(3）主切应力作用面的法线方向主切应力为

3此两截面上的正应力为主切应力单元体如图8．２(c）所示。由，可以验证上述结果的正确性。８.3试用图形解析法，重解例8.２．[解］（1)画应力圆建立比例尺，画坐标轴。对图8。２(a)所示单元体,在平面上画出代表的点Ａ(-5０，—60)和代表的点B(1００，6０）.连接A、Ｂ，与水平轴交于Ｃ点,以C点为圆心，(或)为半径，作应力圆如图８．3所示.图8.3(2)斜截面上的应力在应力圆上自A点顺时针转过,到达G点。G点在坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力,从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值:MPaτα=3４．9５MPａ(3)主方向、主应力及主单元体

4图8.3所示应力圆图上H点横坐标为第一主应力,即K点的横坐标为第三主应力,即由应力圆图上可以看出,由B点顺时针转过为第一主方向，在单元体上则为由ｙ轴顺时针转,且应力圆图上由Ａ顺时针转到K点（),则在单元体上由x轴顺时针转过为第三主方向,画出主单元体仍如图8。2（ｂ)所示．(4)主切应力作用面的位置及其上的应力图8．3所示应力圆上N、Ｐ点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B到N,逆时针转过,单元体上作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过,且作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图8.２（c）所示。8。4如图８。４所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩ｍ的作用.在圆筒表面ａ点用应变仪测出与ｘ轴分别成正负４5°方向两个微小线段ab和ac的的应变e45°=629．4×10–6,ｅ–45°＝－66.９×１0–6，试求压强P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直径d=２00ｍm,厚度t=10ｍｍ，E=200GPa,泊松比m＝0。25．图８。4[解](1）ａ点为平面应力状态,在ａ点取出如图8.4(c)所示的原始单元体，其上应力：

5（2)求图8．4(ｃ）斜单元体efgh各面上的正应力：（3)利用胡克定律,列出应变e45°、e–45°表达式将给定数据代入上式得内压强和外力矩p＝１0MPa,　m＝35kＮm８。5矩形截面简支梁如图8。５所示,已知梁的横截面面积为A，截面惯性矩为I，材料的弹性模量为E,泊松比为μ，梁外表面中性层上Ａ点45°方向的线应变为ε450.请选择荷载F。　　　　　　　　　图8。5（A）　（B)(C)　（D）答案:（A）

6习题解析8.１单元体最大正应力面上的切应力恒等于零吗？　[解]正确.因为在主平面上的正应力σ1是单元体内各截面上正应力的极值(可以为最大值),而主平面上切应力为零。8。２单元体最大切应力面上的正应力恒等于零，对吗?[解］不正确。三向应力状态下单元体有３个主应力,而最大切应力由决定,即:8。3　若一单元体中两个面上切应力数值相等,符号相反，　则该两平面必定相互垂直　,　这种说法对吗？[解]　正确。由切应力双生互等定理知,若切应力数值上，符号相反时，该两平面必定相互垂直。图８。６８.4直径d=20ｍｍ、L=２m的　圆截面杆，受力如图　8．7　．试绘杆件中Ａ　点和　B点的单元体受力图，算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。

7（c）图8.7(a)（b）（d）［解]　以下图8．8为图8。7各单元体受力图:　　　　　　图　8.８应力计算:图(a)的Ａ点　:

8图（ｂ)的A点:图(c)的A点:B点：　,图（d)中Ａ点(压应力)：B点：　(b）中的A为危险点,（c)中的A、B为危险点,（d)中的A，B点均为危险点,相比之下Ａ点的应力较大。８.5已知应力状态如图８.9所示(应力单位:MＰa).试用图解法求:(１)(a）、(b)中指定斜截面上的应力；并用解析法校核之;(２）(c)、(ｄ)、（e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置，求最大切应力。(a)300斜截面单元本；(ｂ)4５0斜截面单元体；(ｃ)纯切应力单元体；(d）压拉切单元体（ｅ)拉压切单元体.

9图8。9［解](a）按比例画出应力圆如下图,可得α=300的斜截面的正应力和切应力为Ｅ点的坐标为解析法校核:(b)　用比例画出应力圆,E点的坐标为

10ysCEXOτY解析法校核：(c）应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为:主平面的方位可由应力圆上量得,因最大主应力作用面与ｘ平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):(ｄ)应力圆与σ

11轴的交点即为主应力得应点,从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为:最大主应力作用面与x平面之夹角为（可由应力圆上得）：(ｅ)应力圆与σ轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为主平面的方位，可由应力圆上量得：（对应于主应力σ１所在主平面)8.６　图８。10示单元体　（单位为MPa),问分别属于什么应力状态。

12图8。１０［解](１)(a)属于单向拉应力状态;（２)(b)属于双向拉应力状态(平面应力状态）;(３)(c)　属于双向拉剪应力状态;（4)（d）　属于纯剪应力状态;(５)(ｅ)　属于双向拉应力状态(平面应力状态)。8.7用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为ε０0=７00×10—6,ε4５０＝350×1０—6，ε900＝—500×1０—6，试作应变圆，求该点处的主应变数值和方向。［解]选比例尺如图8。11（ｂ）所示，绘出纵坐标轴,并根据已知的值分别作出平行于该轴的直线，过Lb线上任一点Ｂ，作与Lb线成顺时针方向45°角的ＢA线,交Ｌa线于A点，作与Lb线成逆时针转向45°角的BＣ线交Lｃ线于Ｃ点．作BA与BC两线的垂直的平分线,相交于o１点,过ｏ点作横坐标轴即ε轴,并以为半径作圆,按上述比例尺量取些二者的交点D1，D２横坐标,即得:　　　　再从应变圆上量得：

13εγ/2CD2　　　　　　　　　图8．118.８用直角应变花测得构件表面上某点处ε0=＋400×10—6，ε４５0=+260×１０－6,ε９0０=-80×１０—6,试求该点处三个应变的数值和方向。[解］因利用公式得

148。９用直角应变花测得受力构件表面上某点处的应变值为ε0=－２６７×１0—6，ε４５0=-5７０×10—６及ε９00　=７9×１0—6，构件材料为　Q２35钢,Ｅ＝２.1×１05MPa，　μ=0。3　.试利用应变圆求主应变，再求出该点处主应力的数值和方向。　　　　　　　图　８.12[解］选比例尺和纵坐标轴如图８.12所示，已知先做Lａ、Lｂ、Lｃ,过上的任一点作与Lｂ线成顺时针转向45度角的BＡ线,交La线于Ａ点；作与Ｌb线成逆时针转向4５度角的BC线交Lc线于C点,作BＡ与BC线

15交线于C点.作ＢＡ与BC两线的垂直等分线,相交于O1点作横坐标轴即轴。并以为半径作圆，按上述比例尺即此二者的交点的横坐标,即得　　　　　根据虎克定律得:=—6６MPa=—１0MＰa根据主应变求主应力:可解得:根据：

16可解得：从X轴到主应力所在平面外法线,其角是沿顺时针转向量取的.8。10图8。1３示矩形截面简支梁在集中载荷P作用下。(1)在A、B、Ｃ、Ｄ、E五点取单元体,定性分析这五点的应力情况，并指出单元体属于哪种应力状态。(2)若测得图示梁上　D点在ｘ及　y方向上的正应变为εx＝４．0×1０—4及εｙ＝1。2×１0-4,已知E=２00GＮ/m２，　μ=0。3,试求D点x及ｙ方向上的正应力。图８。13［解］（１)A、Ｂ、C　、Ｄ、E五点的应力状态如图8．1４所示,其中σＡ、σB均为压应力，σＤ、σE均为拉应力.A、B、D　、Ｅ为平面应力状态，C为纯剪切应力状态．

17τDτEEBDCAσAτAτBσBτCσDσE　　　　　　图8。1４（２）根据广义虎克定律得=２4.6MＰa=７8。5MPa8。11图　8。1５示一钢质圆杆，直径D=２0mm，　已知Ａ点与水平线成　60度方向上的正应变ε600=4。１×10—4，试求载荷P。已知Ｅ=２1０ＧＮ／m2,　μ=０。2８.图8．１5[解]　过A点取单元体,根据题意有

188．12如图8.1６所示，外力矩Mn=2.5×103N·ｍ，作用在直径D=6０mm的钢轴上，若E=２1０GN／ｍ2,μ　=0。２8.试求圆轴表面上任一点在与母线成α=300方向上的正应变。图8.16[解]过表面Ａ点取单元体,根据题意有8。１3　己知油压缸(薄壁)的平均直径为ｄ,　壁厚t,内壁受到油压强户的作用,

19其弹性模量E及泊松比μ均为已知。试求其直径的增量为多少?[解］薄壁圆筒承受内压后,外表面各点将产生周向应力和轴向应力,根据广义虎克定律环向线应变为直径的增量为