高中数学新课程创新教学设计案例--频率与概率

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28频率与概率教材分析频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密切的联系．如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本案例的主要内容．本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系．讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点．教学目标通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识．任务分析由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手．为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结．概率可看作频率理论上的期望值，从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程．教学设计一、问题情境在日常生活中，我们经常遇到某某事件发生的概率是多少，如2004年2月5日《文汇报》登载的两则消息．本报讯记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最．……据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同．结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”2004015期开奖号码完全一致．本报讯记者江世亮报道：……对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零．对文中的万亿分之一”我们怎样理解呢？再如：天气预报说明天降雨的概率是80%, 我们明天出门要不要带伞？收音机里广播报道2004年冬某地流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？……对这些在传播媒体上出现的数字80%,10%等,我们该作何理解呢？二、建立模型为了解决诸如以上的实际问题，我们不妨先从熟悉的频率的概念入手.首先，将全班同学平均分成三组，第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表.表28-1小组编号抛掷次数（n）正面向上的次数（m）正面向上的频率（片）第二组做抓阄试验•写五个阄，即分别标号为1,2,3,4,5,有放回地抓，每次记录下号数，次数越多越好•不妨统计一下各号数所占频率.第三组做摸围棋子试验•预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率.试验结束，让各组学生回答试验结果•第一组正面向上的频率必然接近，第二组结]丄果肯定是每个号出现的频率接近，而第三组结果肯定位于•附近.各组学生所得结果可能大于预定数，也可能小于预定数，但都比较接近.让学生讨论：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？（学生思考，讨论，教师投影以下表格）历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：表28-2试验者抛掷次数（n）正面向上的次数（m）正面向上的频率（片）棣莫佛204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005 观察上表后，引导学生总结：在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性.丄丄丄通过三组试验，我们可以发现：虽然，，三个数值不等，但是三个试验存在共性，即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近.同时还可看出，不同的随机事件对应的数值可能不同•我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小，即概率.(引出概率定义)定义可采用学生口述、教师补充的方式，然后可以投影此定义：一般地，在n次重复进m行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆度幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P(A).学生可考虑如下问题：(1)概率P(A)的取值范围是什么？(2)必然事件、不可能性事件的概率各是多少？(3)频率和概率有何关系？其中重点是问题(3),应启发、引导学生总结出：在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小.为加深对二者关系的理解，可以进行如下类比：给定一根木棒，谁都不怀疑它有客观'的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的长度”值的附近.事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的长度'值.这里测量值就像本节中的频率，客观”长度就像概率.概率的这种定义叫作概率的统计定义•在实践中，经常采用这种方法求事件的概率.三、解释应用［例题］1.把第三组试验中的黑棋子减少10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率约为多少？£学生通过多次试验，可以发现此概率约为2.为确定某类种子的发芽率，从一批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下:表28-3 种子粒数（n）257013070020003000发芽粒数（m）246011663918062713发芽率（M）0.960.8570.8920.9130.9030.904从以上的数据可以看出，这类种子的发芽率约为0.9.［练习］某射击手在同一条件下进行射击，结果如下:表28-4射击次数（n）102050100200500击中靶心次数（m）8194492178455m击中靶心频率（肓）（1）计算表中击中靶心的各个频率.（表中各频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92，0.89，0.91）（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？（由此（1）可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9）四、拓展延伸1某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试丄验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正面的次数约为5000次.买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者1多次中奖.所以彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖.只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于. 由此我们可以说，对于小概率事件，从理论上来讲，发生的可能性很小，甚至在一定条件下可能不会发生.但是，实际上小概率事件仍有发生的可能，如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了.点评针对这节课以概念为主，而又抽象的特点，案例设计了以学生动手试验为主，引导学生体会概念的教学方法，同时对这节中较抽象的内容：频率和概率的关系做了形象的类比，以便学生理解•这篇案例增加了试验内容，其目的是更有力地帮助学生理解定义•另外，例题与练习的配备有利于学生加深对这节内容的理解.因此，这节课的整体设计符合学生对新知识认识的规律，符合新课程标准的精神.