猎犬追狐狸试题的多视角解析

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1、猎犬追狐狸试题的多视角解析许冬保（九江市第一中学江西九江332000）1试题ABDFLv2v1图1猎犬追狐狸第6届全国中学生物理竞赛预赛试题：如图1所示，有一只狐狸以不变速度沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥L，试求此时猎犬的加速度的大小．2解析解析1：矢量方法分析[1]狐狸、猎犬视为质点，猎犬作平面曲线运动，经极短时间，速度方向改变角度θ，可作出速度矢量三角形，如图2所示，由图中角度关系得ABDFLv1Δt图2猎犬追狐狸矢量图θv2v2Δv，猎犬的加速度解得解析2：平面直角坐标系中分析ABOFLv2v1图3猎犬追狐

2、狸直角坐标系分析θxy建立图3示的直角坐标系，经时间t速度方向改变角度为θ，将速度分解，有，．且．对时间t求导，得加速度，当t=0时加速度大小为ABDDFLv1图4猎犬追狐狸在极坐标系中分析θv2vρP解析3：平面极坐标系中分析设D点为极点，DF为极轴，如图4所示，建立极坐标系．猎犬出发点计时，经极短时间t质点沿平面曲线运动到P处，在P处速度分解为沿径向及横向的分量、．由于时间极短，DP视为圆弧，则，．且，，于是．P处的加速度即第3页共3页由于，．因此，有由此可得在极短时间内，，得，．即在D处的向心加速度．解析4：自然坐标系中分析v2ABDFLv1图5猎犬追狐狸在自然坐标系中分析θθ

3、v2r猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故作匀速率曲线运动，由向心力公式，r为猎犬所在处的曲率半径．由于r不断变化，故猎犬的加速度大小、方向均在不断变化．题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于大小不变，求出D点的曲率半径即可．猎犬作匀速率曲线运动，在一段极短的时间内，猎犬运动的轨迹可近似看成是一段圆弧，如图5所示，设其半径为r，则加速度为，其方向与速度方向垂直．在时间内，设狐狸与猎犬分别到达与，猎犬的速度转过的角度为θ，而狐狸跑过的距离可近似为解得所以猎犬的加速度大小为．3评议猎犬追狐狸，猎犬作平面曲线运动，对平面曲线运动的研究，有矢量方法及坐标系分析的方法．由以上解答可以看出

4、，矢量方法是一个较简单的分析方法，但考生由于受到平时练习题的定势思维的影响，往往在坐标系中求解，对于平面直角坐标系及极坐标系，因运算过程烦琐，而未能求得最终结果．对于在自然坐标系中分析，难点在于如何求曲率半径？要求考生能用微元法（化曲为圆）及小角度运算的方法进行分析．ROAv0图6猎犬追狼矢量运算及坐标系的选择是研究平面曲线运动的两大数学工具．质点的平面曲线运动，所涉及到的位移、速度、加速度均是矢量，矢量的运算是基础，有时利用矢量方法进行分析，会收到意想不到的功效．至于在具体问题的分析中，选择什么样的坐标系，要依据问题的性质和研究的方便来确定．一般地，当加速度为常量（如重力加速度），

5、应选取直角坐标系；当加速度总指向空间一点时，选取极坐标系较方便；当质点的轨迹已知时（如限定在某曲线轨道上运动），可选用自然坐标系[2]．附同类训练题：一只狼沿半径为R的圆形岛边缘以逆时针方向匀速跑动，如图6所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从O点去追击狼．若追击过程中，狼、犬、O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的？在何处追上狼？（答案：轨迹是以OD为直径的圆周，猎犬在D处追上狼．）第3页共3页＊［基金项目］中国教育学会物理教学专业委员会研究课题：物理习题教学及其评价的研究（编号yb15004）参考文献[1]何述平．匀速圆周运动向心加速度的教学研究[J]．物理教师2011

6、（12）：20～24[2]杨维纮．力学与理论力学（上册）[M]．北京：科学出版社，2008．24第3页共3页