极限求法大全

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极限求法大全1.1利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A,这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的例：limfxA的「S定义是指：£>0，S=S(x0，£)>0,Ov|x-Xq|xXovs|f(x)-A|V£为了求S可先对Xo的邻域半径适当限制，如然后适当放大If(x)-A(x)(必然保证©(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式:Ix+aI=|(x-Xo)+(xo+a)|<|x-x°|+|xo+a|v|x°+a|+S1域|x+a|=|(x-Xo)+(xo+a)|>|x°+a|-|x-Xo|>|x°+a|-S1从©(x)VS2,求出S2后，取3=min(S1，S2)，当0v|x-x0|VS时，就有|f(x)-A|V£.例:设limXna贝V有lim__也―a.nnn证明：因为limxnna,对0,N1N,),当nN1时，Xn-a-于是当nN1时，X1X2…XnaX1X2...xnann0其中AX1aX2aXn1是一个定数,再由An2，解得n2A,故取NmaxM,2A当nN时,X1x2...Xn—+—22no1.2利用极限的四则运算性质求极限定理⑴：若极限limf(x)和limg(x)都存在，贝U函数f(x)g(x)，f(x)g(x)当XX)XXoXx0时也存在且①linif(x)g(x)阿f(x)linig(x)xX0xX0x^0②limf(x)g(x)limf(x)limg(x)XX)XX)XX)2

1又若c0,则丄凶f(x)limf(x)在xx0时也存在，且有lim-^-xo.g(x)xx0g(x)limg(x)Xx0利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现0，-，等情况，都0不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。例：求lim(——)x11x31x31解：由于当x1时，亠与丄的极限都不存在，故不能利用“极限的和等1x1x于和的极限”这一法则，先可进行化简311x31后这样得到的新函数当_=3(1xx2)(1x)(2x)x1时,x=1-x3(1x)(1xx2)lim(二x11:分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即——)=lim-(2爲=1X31xx1(1xx2)1.3利用函数的连续性求极限定理[2]:一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果Xo是函数f(x)的定义区间内的一点，则有limf(x)f(xo)。xxo一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把xo代入f(x)中计算出函数值，即xxolimf(x)=f(xo)。xxo对于连续函数的复合函数有这样的定理：若U(X)在X。连续且Uo(Xo)，yf(u)在Uo处连续，则复合函数yf[(x)]在Xo处也连续，从而limfxfx或limfxflimx。xxo0xxoxxo例:limlnsinxX22

2解：复合函数X=—在处是连续的，即有limlnsinx=lnsin—ln102x—22

31.4利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。例：求lim24X7-x1x23x2解：当时x1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒2数的极限lim-——3X_=0，故lim2力7=。x14x-7x1x3x21.5利用单调有界原理求极限这种方法是利用定理：单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。例：求limaa...an解：令Xn.a.a...a，则Xn1JOX7，VaVaVa，即xn1xn，所匚口，所以2以数列Xn单调递增，由单调有界定理知，lim,a.a...a有限，并设为A，limXn1lim、axn，即A=.Aa,Annnimaa...a。1.6利用夹逼准则求极限⑶已知｛Xn｝,｛yn｝，｛zn｝为三个数列，且满足：（1）ynXnZn，（n1,2,3,）；（2）limyna，limzna。nn则极限limXn—定存在，且极限值也是a，即limxna。利用夹逼准则求极nn限关键在于从Xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得ynXnzn。例：Xn~T=r2—n1n21=1，求Xn的极限nn11解：因为Xn单调递减，所以存在最大项和最小项11Xn丁n_n^nnn^n1

4111nxn-=Jn则命Xn又因为nim-n^Hm—一，则hmx11。7nn1.7利用中值定理求极限(1)微分中值定理⑴：若函数f(x)满足①在a,b连续，②在(a,b)可导;则在(a，b)内至少存在一点，使得f'()f(b)f(a)0ba111n111nsin(sinx)sinx例：求lim解:sin(sinx)sinx(sinxx)cos[(xsinx)x]，(01)limosin(sinx)sinx111n111n(sinxx)cos[(xsinx)x]3x=coslimx0cosx13x3sinx6x(2)积分中值定理设函数fx在闭区间a,b上连续；gx在a,b上不变号且可积，则在a,b上至少有一点使得111n111nbafx.gx

5111n例：求limno4sinnxdx

6解：lim04sinnxdxnn=limsinxn二4lim(sin)nn=01.8利用罗必塔法则求极限定理⑷：假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和g(x)满足:(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；(2)f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；f(x)(3)lim存在(或是无穷大)；g(x)则极限lim丄也一定存在，且等于limf(x)，即lim丄也=limf(x)。g(x)'g(x)'g(x)g(x)洛必达法则只能对0或一型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类0f'X型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当lim——等于A时，那g(x)Ifxfxfx么lim也存在且等于A.如果lim—；—不存在时，并不能断定lim也不g(x)g(x)g(x)存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论limOg(x)lnsinmx例：求limx0Insinnx解：由limlnsinmxlimlnsinnx知x0x0所以上述极限是一待定型limInsinmxx0Insinnxlimmcosmxsinnxx0ncosnxsinmxmlim-s^nxnx0sinmx1.9利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的

7和式表示成f(x)在某区间a,b上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限[5]。例:求lim【nnn12n2(I1)2]解:nn212nn222n2(n1口)2n1可取函数f(x)21x,区间为0,1,上述和式恰好是f(x)1x在0,1上n等分的积分和。所以lim【nnn212n2_1r1—lim[1nn1(11)2n—1^^dx01x21.10利用泰勒展开式求极限泰勒展开式⑹：若fX在x=0点有直到n+1阶连续导数，那么f(x)f(0)f(0)x2!42Rn(X)(n1)其中Rn(X)其中0例:解:泰勒展开式COSXx2!4x/4\(x)4!2,・cosxe2lim4x0x42

8X、2/4、)(x)

9于是cosxx2eT14x12(x4)x22cosxe所以limx0lim14x124x(x4)丄121.11换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例：求lim-—-x1xlnx解：令txx1则xlnxln(t1)mlIm。^■Ht2.总结本文从极限的概念出发，针对性地对极限的求法作了一下小结，总结出十一种常见的方法即：1.利用极限的定义求极限2.利用极限的四则运算性质求极限3.利用函数的连续性求极限4.利用无穷小的性质求极限5.利用单调有界原理求

10极限6.利用夹逼准则求极限7.利用中值定理求极限8.利用洛必达法则求极限9.利用定积分求和式的极限10.利用泰勒展开式求极限11.利用换元法求极限。对一般的极限根据具体的问题就可以用上面的方法求解，对于复杂一点的可能要用到好几种方法才能够进行求解，这也是我今后主要进行研究的内容。