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摘要数学作为一门的特殊学科，高度的抽象性、严谨的逻辑性以及宽泛的应用性是它的特点。其中数学的两大研究对象“数”与“形”的关系是数学研究的重要方面，数形结合作为一种重要的数学教学思想和教学方法出现在小学教育教学过程中，有利于学生愈加直观、深刻地理解数学特点。本文通过阐述数形结合方法的重要作用，同时举例出小学数学中能渗透数形结合思想的类型题以及如何让学生积极主动地运用数形结合思想来更好地分析解决问题，力求探究数形结合方法在小学数学教学中的应用与价值。关键词：数形结合；教学；小学数学；思想方法
1AbstractAsaspecialsubject,mathematicsischaracterizedbyitshighabstractness,rigorouslogicandwideapplication.Therelationshipbetween"number"and"form",thetwomajorobjectsofmathematicsresearch,isanimportantaspectofmathematicsresearch.Thecombinationofnumberandform,asanimportantmathematicsteachingthoughtandmethod,appearsintheteachingprocessofprimaryeducation,itishelpfulforstudentstounderstandthecharacteristicsofmathematicsmoreintuitivelyandprofoundly.Thispaperexpoundstheimportantfunctionofthecombinationofnumberandshape,andgivesexamplesofthetypesofproblemswhichcanpermeatethethoughtofcombinationofnumberandshapeinprimaryschoolmathematics,andhowtomakestudentsactivelyusethethoughtofcombinationofnumberandshapetobetteranalyzeandsolveproblems,trytoexploretheapplicationandvalueofthecombinationofnumberandshapeinprimaryschoolmathematicsteaching.Keywords：Combinationofnumbersandshapes；Teaching;Primaryschoolmathematics；Methodofthinking
2目录1引言12数形结合思想的概述23小学数学教材中能较好渗透数形结合思想的四大类型题53.1代数运算中的类型题63.2几何问题中的类型题73.3统计中的类型题83.4综合与实践中的类型题94四大类型题中应用数形结合思想的教学建议114.1代数中应用数形结合思想的教学建议124.2几何中应用数形结合思想的教学建议124.3统计中应用数形结合思想的教学建议124.4综合与实践中应用数形结合思想的教学建议12总结13参考文献14致谢15
3数形结合在小学数学教学中的应用1引言从小学起我们便开始接触数学这门学科，这是一门研究数量关系和空间形式的科学，其中这里提到的两个对象“数量”与“图形”是有紧凑相关的。当研究代数时，我们可以借助图形来描绘；在分析图形时，常常也离不开代数的计算。而且数与形是数学中主要的研究对象，小学生在很大程度上还是依靠形象思维的，这时候他们接受具有抽象性的知识时，在很大程度上抽象思维仍然是初步的、基础的、不成熟的，对单调无聊的数字并不感兴趣，甚至产生腻烦的心理，而且在理解数量关系上也存在一定的困难。所以如何将这些抽象难理解的教学内容形象地展现给学生，就是老师面临的重要任务了。而将小学数学中一些抽象的，复杂的代数问题赋予形象化，具体形象地呈现出来，把问题变得简洁明了，就得用到数形结合的思想了。教学过程中，教师通过简单的图形与抽象的数学知识相结合的过程，使处于小学阶段接受知识和解决问题能力有限的，那些对于数学教材里那些形象鲜明的插图、富有趣味性的人物才能够引起他们的注意的学生，通过这样数形结合的方法这样既能够加强学生对知识的理解，提高学习的兴趣和积极性，又能将学生对于图形、图片等生动形象的兴趣迁移到学习上来。因此“数形结合”是小学生学习数学的一种重要学习方法，也是教师教学中一种不可或缺的教学方法。日本数学家说过:“不论从事什么工作的人们，即便把所学的知识全忘了，唯有铭记在他们心中的数学精神思想和方法都随时随地地发生作用,使他们受益终生”[3]。的确，随着社会的进步，作为现代化建设基础的教育事业，也是在不断地改革和创新的，其中新课程改革背景下的教学观告诉我们，教学应变革陈旧的教学方式，传统的“授受”教育方式使学生处于被动的地位，已不适应时代发展的要求了。教育应从传统的教给学生知识转变为教会学生如何学习，由此可以看出随着教育的变革教师要做的是在教育中发展学生的能力，使学生逐渐感受知识的思想性与科学性的结合，体会数学知识内蕴涵的数学思想和数学方法。只有达到这种层次，学生的数学素养才能得到真正的提高。当学生第一次正式接触数学是在小学阶段，因此在这一特殊时期是给学生传输数学思想方法的关键期，让15
4学生一开始学习数学就有数形结合这种思想的概念，是有助于今后学生在数学方面的发展的。可是，当在cnki中国知网输入关键词“数形结合”时搜索出10605条结果，输入“数形结合的应用”搜索出1315条结果，而输入“数形结合在小学的应用”进行搜索却只有134条结果，仅仅占“数形结合的应用”搜索出的结果的10%。另外在其他知名等网站上的数据仍然大同小异。由此这些数据说明我国对数形结合的研究还是很多的，但是数形结合在小学阶段应用的研究成果并不多。本文将从数形结合思想的概述及作用、在教学中可渗透的具体题型以及如何指导学生运用数形结合的思想这几方面展开研究，为数形结合思想在小学数学教学中的应用提供参考。2数形结合思想的概述数形结合，从字面上我们可以简单的理解为是数字与图形这两个因素的互相结合，然而它们并不是单独的两个部分存在的，而是彼此之间有联系的。我们可以把数形结合的应用概括为两种类型：第一类情形是“以数求形”，例如在小学数学中圆形面积这一课时的教学中，对于不规则的图形，学生很难利用数格子的方式精确地得出答案，而通过代数计算则可以快速准确地求其面积。而第二类情形是“以形助数”，好比小学阶段统计这一单元的学习，通过条形统计图、折线统计图以及扇形统计图的学习可以让学生更加直观地体会数据中的组成部分以及数据之间的对比。再者“数形结合”作为一种数学方法和思想，在小学数学教学中，“数”与“形”是相互影响和制约，相互渗透，缺一不可的。数形结合的方法在解题过程中为学生起到了导向的作用，它能把高度抽象的数学问题转化为我们容易理解的图形几何，使问题变得简明形象，这不仅能够让我们轻松地解决问题，还能让学生获得成功的乐趣，提高学生学好数学的信心，而且还可以拓宽学生的思维，想出其他具有创造性的解题思路，发展学生的发散思维。作为刚接触数学的小学生，“数形结合”可以很好地帮助他们衔接有关的数学知识，是理论与实际的科学结合。同时“数形结合”更是一种训练学生思维的方式，思考研究问题时能够做到数形结合，对于数学学习是非常有帮助的。早在数学萌芽时期，人们从生活中最初的计算产生了自然数，从最初的土地面积测量而产生了几何学，由此出现了最早的“数”与“形”。再到后来，人们具体地阐述了将几何问题如何转化为代数问题方法，借助代数之间的数量关系用15
5来表示某些几何的关系与特征，很好地解决这一类的问题。正如华罗庚教授所说“数缺形的少直观，形少数时难入微”，这句话形象地阐述了数与形之间的关系，深刻的揭露了数形结合的重要意义[1]。而后随着社会的进步，计算机技术、概率论、拓扑学等等的研究，将“数”与“形”从独立的产生发展形成了我们现在系统的现代化数学。体会数形结合的思想是数学的学习达到深刻的一个层次，是对数学某一类型的知识的传授和解决方法的一种概括。对于数学方面的发展和研究是有指导意义的。随着新课程变革的发展，小学教育的难度也和从前大不相同了，对于刚从幼儿园毕业的学生，小学阶段的学习是他们成长的一个非常转折点，他们的思维从具体形象将要过渡到小学数学知识的抽象性，必然的他们在学习上会遇到一定的困难。加上小学阶段的学生正处于精力旺盛，好奇心充沛的年纪，注意力很容易分散，那么教师的教学就要有一定的趣味性，要有直观易懂的元素存在，吸引学生的兴趣。但是，如今在小学的教学中，大部分教师忽略了这一点，仍然采用传统的教学方式，即教师在讲台上负责讲课，学生在地下听，这种单方向传递知识的方式往往效果是不佳的，教师缺少科学的教育教学知识，缺少教授数学思想方法的感悟，与学生的互动，交流只限于作业的批改。加上在一节有限的45分钟课堂上，教学内容多，且教师不能兼顾到所有学生的情况，教师将注重点放在如何在45分钟内把知识点讲完，导致教师无法在课堂上站在学生的角度上去理解教材，无法发现哪些内容是学生难接受的，哪些是学生难以理解需要用图形或实物结合演示才能直观的给学生展现出来的内容。导致学生们的学习兴趣不高、接受能力差，学习的积极性降低，学习效果不尽人意。那么能够将抽象严谨，准确的代数问题与形象直观地几何图形相结合的数形思想方法就发挥着它特殊的作用与价值了。数学作为一门需要思考、计算、想象的学科，在小学阶段的知识相对与小学生来说比较复杂难懂的，其具有极强的抽象性，对于还不具备有抽象思维能力的学生，当他们开始学习数学时，往往需要受到直观的视觉上的刺激和冲突，教师通过图形进行慢慢地引导，使学生理解图形里所蕴含的数学知识，从而循序渐进地发现和接受新知识。这就体现了数形结合思想在小学数学教学中的重要性。同时，由于小学生的身心发展的特点和以形象思维为主的特征，他们现阶段的理解能力有限，对于知识点的理解，以及题目想要表达的意思的理解都会有一定的困难。一些直观的，形象的事物更能吸引他们的注意[4]。所以，作为新课程改革教15
6育教学的研究者的教师，要充分考虑到学生发展的阶段性，根据学生的身心特点，有区别、有重点地对学生提出不同的发展任务，在课堂教学中渗透数形结合的思想，吸引学生的注意力，调动学生学习的主动性、积极性，发挥学生的主体作用。利用直观形象的图形帮助小学生理解数学的知识，利用数与形的结合，帮助学生理解有难度，抽象的数学知识。通过这两者的联系，培养学生化归转化的思想以及知识迁移的能力。兴趣是吸引学生有意注意的有效方法，是学生最好的老师，数学相对与小学生来说是比较枯燥抽象的，比较难引起学生学习的兴趣，难以很好地维持学生的注意力。因此我们可以发现，在小学数学中的教材中，很少看到有一整页都是纯文字的内容，往往每个课时的开头都是以故事性的图片或是以形象的图形为导入的，这些富有趣味性，生动形象的图片能够吸引学生的注意力。同样，教师在教学过程中可以把抽象单调的数学知识与生活中具体的形象的事物相联系，使数学更加贴近学生的生活，将学生对于那些生动形象的事物的兴趣迁移到学习上来，让学生感受到原来数学不只是书本上的知识，在我们的日常生活中也是充满着数学的，从而引起学生对于数学的学习兴趣。进而可以提高学生的学习效率。相比于其他学科，数学更是需要理性地思考，对于一些比较难理解和掌握的知识内容，这个时候就需要通过教师根据实际情况灵活地运用数形结合的思想，将抽象的理论知识转化为让学生更容易接受的形式，从而帮助学生更好地理解和掌握知识点。例如在北师大版四年级下册解方程（一）中，见图2-1，教师可通过呈现好几组天平和法码的增减平衡关系的图形，使学生清晰地感知：天平的两边同时放上或去掉一个相同质量的法码，天平仍然平衡。通过这几组形象的数形结合的方法就可以用来帮助学生理解等式的性质。又例如，在人教版五年级下册分数的基本性质这一课的教学，见图2-2，理解分数的基本性质是这一课的难点，基本性质指的是什么呢？为什么分母和分子经过了变化但分数的大小却不变呢？如果它们经过的变化不同，那么大小还会改变吗？这是学生会存在的疑惑。在教学中，教师可以让学生拿出一张准备好的正方形的纸片，把它平均分成2份，让同学涂出其中的一份；接着再拿出同样大小的正方形，平均分成4份，让学生涂出其中的2份，再用同样的方法平均分成8份，表示出其中的4份。学生通过动手涂一涂，很直观地就能发现出他们所涂的部分的大小是一样的，从而得出分数的基本性质。像这样，通过数形结合的方式来帮助学生更透彻的掌握相关知识点，能大大地降低抽象知识的难度，使学生很容易地理解数学。15
7图2-1图2-2数形结合的思想不仅是帮助学生更加快速地理解和解决问题，更是要将数形结合思想渗透到日常的教育教学课堂当中，循序渐进地培养学生形成数形结合的思维能力。举个例子，在平行四边形面积公式的推导这一课的教学中时，就可以通过让学生在课堂上先剪出几个形状不一的平行四边形，两个小组之间进行合作，通过剪一剪，补一补，移一移的过程，让学生动手尝试平行四边形可以剪补成哪些已经学过的图形。让学生自主发现平行四边形面积与长方形面积的关系。从而得出结论平行四边形面积的公式。经历让学生用图形剪一剪，摆一摆，对平行四边形面积的推导进行体验与探索的过程，通过数形结合的方法，将学生想要探索的问题迁移到已有的知识结构中，培养学生的学习迁移能力。3小学数学教材中能较好渗透数形结合思想的四大类型题在数学教学中可以分为两个方向，一方面是具体数学知识，这是表面的，也是教师们着重要学生所掌握的，而作为内在的则是数学知识中所蕴含的数学思想15
8这也是经常被教师给忽略的，所以备课就成为了能否上好一堂课的先决条件了。教师们在备课的工作中，应该先通过研究教材，找出这节课的重难点，站在学生的角度感受哪些知识是他们所不容易接受的，然后将数形结合的思想融入其中，设计教案，来帮助学生更好地理解所教的内容。综上，教师自身要对教材进行研究，明确哪些是在小学数学中能够渗透数形结合思想的。下面将从课程内容的四个部分来分析能够在教学过程中较好地利用数形结合思想教学的类型题。3.1代数运算中的类型题对于本身就枯燥，繁琐的代数计算，小学阶段的学生更是对之没有耐心和兴趣。但这单调的代数计算依然是可以赋予它直观生动的形象。在学习《数的认识》、《数的运算》时就蕴含了许多的数学思想方法，其中就有数形结合思想，但教材上并不是明确的指出，而是隐含在教材中，是需要通过教师来向学生传递的。比如在人教版一年级数学下册(义务教育教科书)第10页第二单元的“20以内的退位减法”见图3-1，这一课在做一做中让学生通过摆小棒，圈图形的方法来体验20以内的减法。图3-1这样生动形象地让学生通过摆木棒，圈图形的实践操作，使学生更加直观感受算式的得数是怎么得到的，让学生对20以内的减法有了解决的方法。激发了15
9学生学习的积极性，同时也能够引发学生对于其他解法的思考。3.2几何问题中的类型题小学高年级的学生在解决几何图形问题时运用数形结合思想可以更好的理解题意，比如在人教版五年级数学上册(义务教育教科书)第91页“三角形的面积”中，见图3-2，教材呈现的方法是先让学生利用已有的三角形通过摆一摆，拼一拼的方法，引导学生边动手边思考，三角形能与什么学习过的图形相联系呢？这时教师再进行引导，启发学生这两者之间的联系，很好地把图形跟数学符号相结合起来，使得学生对三角形面积公式推导的过程更加深刻，让学生能清楚明白公式中的符号代表的意义。15
10图3-2并且在学习面积的计算时，经常会遇到改变边长求面积变化的题目，比如“一条红领巾，底边长二十厘米，相对应的高为十厘米。当它的长增加了十厘米，高增加五厘米时，面积增加了多少平方厘米？”在学生刚刚接触这类题目的时候常常会以为增加的是一个图形是一个小三角形，于是就用三角形的面积求法直接计算10×5÷2=25（平方米）从而产生了错误。如果当我们做题时，先画出题目所表达的示意图，再画出边长的变化，学生通过观察所画的图形，很容易就会发现增加的图形并不是一个三角形，可以清楚的了解面积是如何变化的，再结合题目中的数量关系，便能准确简便的解答出增加的面积。可见，寓数于形，能让学生从“数”的角度去体验图形的特征及转变，引导学生发现其中蕴含的数学知识，体验数学学习的乐趣，让学生积极主动地投入到数学学习的活动中去[5]。3.3统计中的类型题小学高年级的学生在学习统计时运用数形结合思想可以更直观地体会实际问题中的数据信息，比如在人教版五年级数学下册(义务教育教科书)第104页“折线统计图”中，见图3-315
11图3-3教材中先是回顾了四年级上册的条形统计图的知识，而后提出还可以用折线统计图来表示数据，使学生体会到同样的数据可以有不同的统计表达方法，并且更加直观地可以看出表格中数据的变化形势。3.4综合与实践中的类型题利用所学的知识去解决生活中的实际问题是培养学生应用意识很好的途径。在小学阶段的学生解决植树问题时，在教学过程中通过数形结合的方法把植树的数量问题、距离问题转换成直观的图形问题，引导学生可以用画图的方式，来帮助我们理清题目中的条件，比如在人教版五年级数学上册(义务教育教科书)第105页“数学广角----植树问题”，见图3-4，教材呈现了三种不同的植树情况。15
12图3-4我们可以通过画线段图这种数形结合的方法，将题目中不同的条件表示出来：第一种是属于两端都要植树的情况，线段中的间隔数加一等于植树的棵数；第二种是两端都不植树的情况，那么植树的棵数就会等于间隔数减一；第三种是一端植树另外一端不植树，那么植树的棵数就等于它们之间的间隔数。像这样通过运用数形结合的方法可以让学生能够把抽象复杂的问题变得具体形象，再运用总结归纳出解决问题的方法，提高学生解决问题的水平。总之，数学解题不是就题论题的过程，而是通过教学策略使学生萌生数学思想，并转化为解决问题的方法，再到数形结合中感悟核心思想的启发性成分，进而生成有效的学习经验，实现数学能力的提升[2]。15
134四大类型题中应用数形结合思想的教学建议通过以上从四个不同方面的类型题分析，教师能够更清晰地感知小学数学教学中数形结合的渗透。在实际的教学过程中，教师要向学生传递数形结合的思想，就要求教师首先要对数形结合的作用有一定的了解，知道数形结合的思想有利于数学的学习，其次，在备课的工作中，对于数形思想的挖掘也是十分重要的。备课不仅要备教材，钻研哪些是可以通过数形结合更好地呈现给学生，让学生容易接受的，而且备学生也是很多老师容易忽视的。所谓的备学生就要了解在那个阶段的学生，什么知识点对于他们是有难度的，是不好理解和接受的。接着再朝着这个方向去研究设计如何把数形结合的思想渗透其中，将复杂的问题直观化，简单化。在长期的教学中潜移默化地把数形结合思想内化到学生的认知结构中去，成为学生学习和解题的思维工具，从而提高学生的数学思维。在教学活动中，教师指导运用数形结合的方法帮助学生理解数的意义，多使学生通过实际的数学问题中发现数形结合的方法，灵活运用学生向师性的特征，多让学生模仿教师运用数形结合的方法写一写、画一画、说一说，让学生利用多种感官参加学习，突出数与形的联系，让学生学会用数来表示形，用形来解释数，达到数形相结合，数与形之间相互转换，多让学生进行操作，在实践中感受直观，让学生在体会知识的产生时发现数形结合的运用与意义，积极的引导学生自主探究、合作探究的方式发现隐藏在知识背后的数学思想[6]。教师可从以下四个方面来引导学生如何学会利用数形结合的思维进行数学的学习。4.1代数中应用数形结合思想的教学建议例如整数乘法这一课教学中，教师可摆放多排小棒，用小棒代替数字，使学生在代入小棒的过程中逐步理解乘法的算法和算理，渗透数形结合思想的教学方式可促使小学生加强对乘法运算等公式的理解[3]。此外，随着科学技术的不断发展，越来越多的信息技术被应用到教学生活中，同时信息技术也是教师展现数形结合很好的载体[1]。又例如，在小学数学人教版五年级下册中因数与倍数的教学中，引导学生巧用集合圈表示数的关系。在向学生阐述公因数和公倍数的概念时，利用集合圈的表达方式，使学生更容易理解公因数与公倍数的含义。15
144.2几何中应用数形结合思想的教学建议引导学生通过建立直角坐标系，感受物体的方位以及彼此的位置关系。例如，在五年级上册用数对表示位置这一课的学习时，引导学生可以通过建立直角坐标系，直观地感受物体的相对位置，帮助学生建立方位意识，体会数学的特点。4.3统计中应用数形结合思想的教学建议在统计的教学中，数据分析可是统计的核心部分，因此教师可以引导学生学会绘制条形统计图、折线统计图和扇形统计图，通过数与形的结合，条形统计图能够使学生清晰地看出各种数量的多少；不仅如此，折线统计图还能表现出数量的增减情况；扇形统计图则帮助学生感知各部分数量同总数之间的关系。4.4综合与实践中应用数形思想的教学建议 在小学数学中，学生经常遇到的应用题无非是年龄、植树、行程以及工程问题等等，在解决这一类题目时，数形结合是学生解决问题一个有利的工具，见图4-1，引导学生利用线段图表示数量关系。学生根据题意，用题目的条件和问题以线段图的方式呈现，一目了然。大大提高了学生解题的效率。图4-115
15总结本文对数形结合的思想，研究的背景和作用以及在教学中的应用进行了整理和阐述，由此可以得出在整个小学数学的教学中都渗透着数形结合，并且在高中低年级的数学教学中都有着不同意义和运用。教师在进行数学教学中应该重视学生对数学结合思想的理解和运用，学生掌握数形结合的思想是学生认知发展的需要，也是小学数学课程标准的需要。小学数学中的数形结合，在很大程度上不是靠学生自行去发掘的，而是由我们的教师通过教学活动去渗透的。这就要求教师本身就要有数形结合的思想，同时要加强自身理论的学习，并且要对小学数学教材进行深刻的理解，找出教材中蕴涵的思想，并且应该采取多元化的渗透方式，实现渗透内容的全面化。通过“数形结合”可以引发学生对学习数学学习的兴趣以及帮助学生更好的理解数学。但要使学生学会用数形结合思想来解决学生日常生活中的学习问题并不那么容易，还有很多值得教师钻研的地方，这就需要教师和学生们的不断努力。15
16参考文献[1]王罕娜.刍议小学数与形完美结合的思想[J].农村小规模学校网络教研与教师专业发展的研究,2020(1):88-89.[2]潘灿丽.利用数形结合提高学生数学能力的策略[J].数学教学通讯，2020(2)：65-80.[3]赵莉.数形结合思想在教学中的渗透[J].小学科学,2019(2):90-91.[4]尹慧.小学数学教学中的数形结合教学思想探究[J].教育界,2018(10):95-95.[5]陈太琼.寓数与形以形解数[J].数学学习通讯,2019(11):66-67.[6]陶丽红.小学数学数形结合思想教学模式的应用研究[J].文理导航，2020(6)：23-24.15
17致谢首先我要感谢我的论文指导老师叶蕴锋老师，叶老师对我论文的研究方向提出了指导性的意见，并帮我定下了论文的大致框架，在我撰写论文期间叶老师给了我提出了很多有建设性的意见，使得我的论文更加有深度。在修改论文期间叶老师对论文内容的严谨态度，使我受益匪浅。同时我还要感谢我的同学们帮忙提出建议以及帮忙检查论文的格式。我会继续努力学习使自己不断进步的。15
