《无理数指数幂及其运算性质》示范课教学设计【高中数学人教】

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环节二4．1．2无理数指数幂及其运算性质复习引入问题1本单元我们的研究目标是构建一个完善的指数幂运算体系，你能说说上节课是借助于哪个知识，对整数指数幂进行了拓展，并确立这节课的目标吗？答案：通过上节课的学习，我们借助n次方根的定义，将ax(a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数，接下来需要探究能否继续拓展到无理数，即：在ax(a＞0)中，当指数x是无理数时，ax是不是一个确定的数，或者说能不能在数轴上找到一个确定的点与ax相对应．课堂探究问题2类比初中认识无理数的经验，分析在ax(a＞0)中，当指数x是无理数时，ax还有没有意义？如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．追问1在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回忆初中是如何确定无理数的大小的？答案：初中时，首先根据勾股定理用尺规作图，在数轴上找到对应的点（图1），从而明确是一个确定的实数；然后不断寻找的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），发现这两组数都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是，以此来逐渐逼近的精确值（表1）．表1的不足近似值x的过剩近似值y1.41.51.411.421.4141.4151.41421.41431.414211.414221.4142131.414214

11.41421351.41421361.414213561.414213571.4142135621.414213563……追问2类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．你能设计一个方案来解释无理数指数幂的意义吗？答案：根据的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值，并填入表2．表2的不足近似值x5x的近似值的过剩近似值y5y的近似值1.49.5182696931.511.1803398871.419.6726997281.429.8296353281.4149.7351710391.4159.7508518071.41429.7383051741.41439.7398726201.414219.7384619071.414229.7386186431.4142139.7385089271.4142149.7385246011.41421359.7385167641.41421369.7385183321.414213569.7385177051.414213579.738517861

21.4142135629.7385177361.4142135639.738517752…………追问3通过表2可以看出，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是怎么体现的呢？请同学们将上表中不同的5x和5y的值画到数轴的对应位置上．答案：教师展示GGB课件“4.1指数第二课时－数轴显示有理数指数幂逼近无理数指数幂”，并演示动画效果．教师可以将图象逐步放大，直观展示上述逼近过程．如图2.追问4参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？答案：学生借助计算器重复上述过程.结论：一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的实数．这样，我们就将指数幂ax(a＞0)中指数x的取值范围从有理数拓展到了实数．实数指数幂是一个确定的实数．应当注意的是，在指数幂ax中，通常要限定a＞0这个条件．这是因为，在实数范围内，只有正数的任何实数次幂才有意义．如果这里的底数a＝0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果这里的底数a<0，那么指数就不能为(其中n为整数)，否则仍然没有意义．因此我们限定a＞0这个条件．问题3：明确了无理数指数幂的意义以后，指数幂ax中指数x的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂的运算性质对于实数指数幂是否还适用？为什么？

3答案：有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质．（1）aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)；（2）(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)；（3）(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．对于实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明．请同学们课后自行完成．知识应用例1计算下列各式（式中字母均是正数）（1）；（2）；（3）．答案：解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝．追问这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？答案：例4中的指数都为有理数，本题中的指数都为无理数，但是它们的运算过程是一致的，都是按照实数指数幂的运算性质进行的．

4归纳总结问题4回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？回顾本单元的两小节内容，你能梳理画出本单元的研究内容和方法的思维导图吗？答案：（1）在将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程中，我们经历了从“不足近似值”和“过剩近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程．然后在数轴上表示这些“不足近似值”和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂．（2）实数指数幂的运算性质，与整数指数幂的运算性质是一致的，也就是说将指数的范围从整数拓展到实数后，其运算性质保持不变．其形式上就是幂之间的运算转化为指数间的运算，这一转化是以降低一个运算级来实现的．（3）思维导图如图3：