上海市虹口区2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学Word版含答案

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虹口区2020学年度高三第二学期期中学生学习能力诊断测试数学试卷　　　（时间120分钟，满分150分）一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知集合，，则．2．_____________.3．在的二项展开式中，常数项是．4．某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于．5．给出下列命题：①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中所有正确命题的序号为　．6．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为7，到轴的距离为5，则　　．7．若，则的值等于　　（用表示）．8．设函数的定义域为.若对于内的任意,，都有，则称函数为“Z函数”.有下列函数：①；②；③；④.其中“Z函数”的序号是　（写出所有的正确序号）9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于()．若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的体积等于________().10．在平面直角坐标系中，定义，两点的折线距离.设点，，，，若，则的取值范围．

111．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组，则的取值范围是．12．在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为_______.二．选择题（每小题5分，满分20分）13．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于……………………（）14．已知函数，则“”是“为偶函数”的（）条件充分非必要条件必要非充分条件充要条件既非充分也非必要条件15．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为…………（）1个2个3个4个16．在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为……………………（）．三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）设且，，已知函数

2．（1）当时，求不等式的解；（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围．19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设.（1）若，求的边长；（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值.20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知椭圆的方程为.

3（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”．（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.虹口区2020学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试高三数学试题答案一.填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1.；2.1；3.20；4.；5.②③；6.4；7.；8.③④；9.；10.；11.；12.512；二.选择题（每小题5分，满分20分）13.；14.；15.；16.；三.解答题（本大题满分76分）17.（14分）解:（1）由，，有，从而有，且.…………………………3分

4又是边长等于的等边三角形，，.又，从而有，，.又，平面.………7分（2）过点作交于点，连.由（1）知平面，得，又，平面，是直线与平面所成的角.………………10分由（1）证，从而为线段的中点，，，，.所以直线与平面所成的角的大小等于.……………………14分注：用空间向量解答的相应给分18.（14分）解：(1)，不等式可化为若，则，解得，不等式的解集为.若，则，解得，不等式的解集为.综上所述：，的解集为；，的解集为.…7分（2）.…………8分令，即，∵，∴，∴；∴.……………………11分设，，得：，解得

5.……………………………………14分19.（14分）解：（1）设的边长为千米.由，得，.在中，，，为等边三角，得,解得.所以的边长等于千米.………………6分（2）设的边长为千米.，……8分在中，，，，，解得，当，时，.………………13分所以当时，的边长取得最小值为千米.……14分20.（16分）解：解：（1）当时，，直线即直线，与椭圆只有一个公共点.当时，由得，，又，有，从而方程组只有一组解，直线与椭圆的有且只有一个公共点.…………4分（2）设，.则两条直线为，，又

6是它们的交点，，，从而有，的坐标满足直线方程，所以直线：.………………8分直线的方程为，由解得，即，………………10分由得，由，得，得，……，相应的给分）（3）设.当直线与有一条斜率不存在时，，.…………11分当直线与的斜率都存在时，设为和，由得，由，整理得，，和是这个方程的两个根，有，得，所以点的轨迹方程是.…………………………16分21.（18分）解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，，都存在正整数，使得，所以,解得或.…………3分所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且时，数列不具有“性质”.……………………4分（2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，，令，则.……6分

7当且时，则，对任意正整数，，，由得,得，而是正整数，所以存在正整数使得成立,数列具有“性质”.……8分当且时，取，则，正整数不存在，数列不具有“性质”.综上所述，且.………………10分（3）.对于任意的正整数,存在整数，使得得.…………12分对于任意的正整数,存在整数和，使得，，两式相减得.当时，显然不合题意.当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.…………14分若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.…………16分当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得,得，而是正整数，从而数列具有“性质”.当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得,得，而是正整数，从而数列具有“性质”.综上所述或.……………………18分