天一专升本高数知识点

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1、第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：，图像关于原点对称。偶函数：，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若，则是比高阶的无穷小量。（2）若（不为0），则及是同阶无穷小量特别地，若，则及是等价无穷小量（3）若，则及是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限（1）使用方法：拼凑，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致（2）使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、第14页的最

2、高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限：右极限：注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义：或间断：使得连续定义无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1）、第二类间断点：、至少有一个不存在（2）、第一类间断点：、都存在注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，

3、左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理：如果在上连续，则在上必有最大值最小值。（2）零点定理：如果在上连续，且，则在内至少存在一点，使得第三讲中值定理及导数的应用1、罗尔定理第14页如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3），则在(a,b)内至少存在一点，使得b记忆方法：脑海里记着一幅图：1、拉格朗日定理如果满足（1）在闭区间上连续（2）在开区间（a,b）内可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得脑海里记着一幅图：（）推论1：如果函数在闭区间上连续，在开区间（a,b）内可导，且，那么在内=C恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜

4、率都为0。（）推论2：如果在上连续，在开区间内可导，且，那么记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等2、驻点满足的点，称为函数的驻点。几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极大值，称为极大值点。设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极小值，称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第14页5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧及凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注在原点即是拐点6、单调性的判定定理设在内可导，如果，则在内单调增加；如果，则在内

5、单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，；7、取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是8、取得极值的充分条件第一充分条件：设在点的某空心邻域内可导，且在处连续，则（1）如果时，;,那么在处取得极大值；（2）如果时，；，那么在处取得极小值；（3）如果在点的两侧，同号，那么在处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，则（1）如果，那么在处取得极大值；第14页（2）如果，那么在处取得极小值5、凹凸性的判定设函数

6、在内具有二阶导数，（1）如果，那么曲线在内凹的；（2）如果，那么在内凸的。图像表现：凹的表现凸的表现6、渐近线的概念曲线在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（1）水平渐近线：若,则有水平渐近线(2)垂直渐近线：若存在点，，则有垂直渐近线（2）求斜渐近线：若，则为其斜渐近线。7、洛必达法则遇到“”、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。如果遇到幂指函数，需用把函数变成“”、“”。第二讲导数及微分1、导数的定义（1）、（2）、（3）、注：使用时务必保证后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、导数几何意义：在处切线斜率第14页法线表示垂直于切线，法线斜率及乘积为—11、导数的公

7、式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。2、求导方法总结（1）、导数的四则运算法则（2）、复合函数求导：是由及复合而成，则（3）、隐函数求导对于，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（4）、参数方程求导设确定一可导函数，则(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（6）、幂指函数求导幂指函数，利用公式然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数