悬臂梁结构的应变模态积分法与灵敏度分析

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1、悬臂梁结构的应变模态积分法与灵敏度分析邢建伟，郑钢铁(清华大学航天航空学院，北京100084)摘要：应变模态振型决定了结构动应变分布规律。基于梁应变与曲率的正比关系，提出一种直接求解悬臂梁结构曲率模态的积分方法，适用于任意形式的刚度和质量函数。通过与数值和解析解比较模态频率与振型，验证了该方法的准确性。此外，该方法将连续体模态求解问题转化为有限自由度的广义特征值形式，进一步证明可以应用Nelson法求解该形式的特征灵敏度，获得了曲率模态振型对于结构设计参数的灵敏度显式表达。为了更加明显地表现动应变变化，提出了曲率梯度模态的概念，其参数灵敏度可由

2、曲率模态灵敏度获得。算例结果表明，该方法可以有效地优化结构参数、避免动应变集中。该方法同样也适用于固支—固支和固支—简支这两种边界条件。关键词：应变模态；曲率模态；积分法；灵敏度分析；曲率梯度模态中图分类号：V414文献标识码：A文章编号：引言分析激励作用下的动应力状态及其分布规律是工程结构动强度设计的关键，而应力又需要由应变通过本构关系间接得到。结构动位移响应可以采用位移模态综合法获得，同理也能够采用应变模态综合[1-2]直接获得动应变响应。应变模态振型是结构本身的固有特性，与激励载荷无关，决定了空间动应变的分布。工程师可以通过修改结构参数来

3、优化应变模态振型，以改变动应变分布、避免动应变集中，从而提高结构的可靠性和使用寿命。梁是许多工程结构的简化模型，尤其是悬臂梁模型，如机翼、高层建筑等。梁截面的应变与中性面变形曲率成正比，所以梁中性面曲率模态可以等效应变模态，下文所述的曲率与应变二者等同。曲率模态在损伤识别[3-8]领域有广泛的应用，但是这些文献一般都是先通过有限元法得到位移模态，再采用中心差分法近似、间接地获得曲率模态。据目前所调研的公开发表文献所示，还没有一种直接求解任意梁曲率模态的解析法或半解析法。对于任意变截面非均质欧拉梁，其运动方程是以横向位移为变量的变系数四阶偏微分方

4、程，如果能够得到位移模态的解析解，也可对该解析解求两次导数得到曲率模态。但是，教科书[9-10]中的位移模态解析解仅仅适用于等截面均质梁。Naguleswaran[11]采用Bessel函数求解了楔形和锥形这两种特殊截面变化形式的欧拉梁位移模态解析解。Melnikov[12]在其著作里采用Green函数法求解任意欧拉梁位移模态，但是不同边值条件下Green函数的求取非常困难，这就限制了该方法的应用。Li[13]提出了一种求解任意梁剪切变形的精确方法，但是刚度函数与质量函数之中只能有一个是任意的。Elishakoff和Candan[14]给出了非

5、均匀梁自振频率的封闭形式表达，但其要求密度和弹性模量都表示成多项式函数的形式。Huang等[15]提出一种求解轴向参数变化梁模态频率的积分法，相比Green函数法更加简便，且适用于多种刚度函数与质量函数。但是Huang在文中仅通过比较模态频率验证了方法的正确性，而没有分析模态振型，且据所调研公开发表文献，还没有学者将这种积分方法推广到求解曲率模态。除了准确求解任意梁的应变模态，在结构设计阶段，工程师们更关心结构设计参数对应变分布的影响。模态振型灵敏度分析是连接结构设计参数与动应变分布的桥梁，也是前面所讲的优化动应变分布的关键课题，学术界在这方面

6、的研究也很多。Sutler等[16]比较了四种典型模态振型灵敏度的计算方法：有限差分法、模态法[17]、改进模态法[18]和Nelson法[19]，结果表明Nelson方法最为有效、准确。Yu等[20]将Nelson方法得到的结果作为比较另外五种近似灵敏度求解方法的标准解。但是Nelson方法处理的是矩阵形式的特征值和特征向量灵敏度问题，如果利用该方法求解欧拉梁这种连续结构的应变模态灵敏度，还需要将问题转化为包含有限自由度的矩阵形式。本文提出了基于悬臂欧拉梁结构的曲率模态积分法，将以曲率为变量的运动微分方程转化为积分方程形式，从而可以直接求解曲

7、率模态。该方法适用于任意刚度与质量函数，通过与解析解及精细有限元结果的对比，验证了方法的准确性。此外，这种积分法能够将连续结构的模态求解转化为矩阵形式的广义特征值问题，同时基于矩阵分析，证明了采用Nelson法求解参数灵敏度的可行性。最后，计算了曲率梯度模态及其参数灵敏度，曲率梯度能够更加明显地反映应变集中。通过典型算例展示了曲率模态振型设计流程并验证了方法的有效性。此外，通过公式推导与算例验证，证明该方法也适用于固支—固支和固支—简支两种边界条件。1应变模态积分法任意截面非均质欧拉梁的无阻尼运动微分方程可写成(1)式中为轴向坐标，表示中性面的

8、横向位移，梁单位长度的质量记为，且，其中为梁材料密度、为梁的横截面面积；梁横截面的抗弯刚度记为，且，其中为梁材料的杨氏模量、为梁横截面绕中心轴轴的转动