第八章多元函数微分法和应用

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1、第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念1．填空。（1）设，则=________________；(2)设则=_________________；(3)设若当时，则函数=________________；(4)函数的定义域是_________________________；(5)函数的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_____________________________________。2．求极限。（1）（2）4．讨论函数的连续性。55第二节偏导数1．填空。（1）则，；（2）则，；(3)设，则=_____

2、_____,=__________,=__________,=__________；（4）设，（为连续函数），则=__________,=__________。2．证明函数在处连续，但偏导数不存在。3．验证满足。4．求下列函数的二阶偏导数（1）（2）55第三节全微分及其应用1．填空。（1）设，则（2）设，则（3）设，则2．求函数当时的全增量和全微分。3．求函数的全微分4．设证明在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。55第四节多元复合函数的求导法则1．请把及填入下列式子的空括号里，并写出计算结果。（1）设，而，，则复合关系

3、图为，从而_______________________.（2），令，，，则复合关系图为，且=.2．设,而，，求，3．设u=,而，，求.4．设，而,为可导的函数，证明：5．设，其为可导的函数，验证.556．设，其中是有一阶连续偏导数，求，，第五节隐函数的求导法则1．设，求及2．设，用隐函数求导的公式求；用复合函数求偏导数的方法求；利用全微分形式不变性求出及。3．具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足554．已知，求，是把变量视为自变量，变量与视为变量的函数。求出5．已知，求，，，，与看作自变量，而把变量与都看作与的函数，求

4、出，6．设，求55第六节微分法在几何上的应用1．螺旋线，，在点处的切线和法平面方程。并证明其上任一点的切向量与轴成一定角。2．求曲线，在点处的切线和法平面方程。3．求曲面在点处的切平面和法线方程。4．在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出该法线方程。551．证明锥面上任意一点处的切平面都通过锥面的顶点。2．试证曲面上的任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。第八节多元函数的极值及其求法1．求函数的极值。2．求函数的极值。551．求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点。2．在球面位于第一卦限的部分求一点P，使该点处

5、的切平面在三个坐标轴上截距的平方和最小。第八章多元函数微分法及其应用总习题1．设，求，其中具有一阶连续偏导数。2．设，验证。551．设，又，求常数，使。4．设，求及。1．设，问：（1）在点是否连续，为什么？（2）在点的偏导数，是否存在？（3）在点是否可微？为什么？2．设，其中有二阶连续偏导数，二阶可导，求。551．设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续的偏导数，试证明：2．设，其中具有一阶连续的偏导数，利用全微分形式不变性求隐函数的全微分，并由此求出。10．求曲线上点处的法平面与直线间的夹角。551．过直线，作曲面的

6、切平面，求此切平面方程。2．经过点但不过原点的所有平面中，哪一个平面与坐标面所围成的立体的体积最小。第九章重积分第一节二重积分的概念与性质1．选择题.设，若由轴，轴与直线围成，则在上A．B．由二重积分的性质可知.A．B．C．551．填空题设若，区域为，则在上，的最小值为最大值为此时,.第二节二重积分的计算法1．填空：改变积分次序(1)(2)若则=.(3)设：，则应把二重积分化为先对___后对___的二次积分=.(4)二重积分2．画出积分区域，并计算下列二重积分。(1)，其中D是顶点分别为，和的三角形闭区域.55(2)其中D是由

7、直线，及所围成的闭区域.(3)，其中D是由所确定的闭区域。1．化二重积分为累次积分（按两种不同的积分次序），其中积分区域D由直线，及双曲线围成。2．求由曲线，，所围成的平面图形位于第一象限部分的面积。551．证明：2．求下列空间域的体积。（1）标平面及平面，，围成的立体；（2）曲面，围成的立体；7．画出积分区域，并且把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1），（2）由曲线，，及围成的闭区域；558．利用极坐标计算：（1），其中是圆环形闭区域：；（2）其中D是由直线,及曲线所围成的闭区域；（3）其中D是由圆周所围

8、成的闭区域；9．求由圆和心形线所围图形（在圆外部分）的面积。55第三节二重积分的应用1.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。2.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。3.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围成立体的表面积。55第四节三重积分的概念及其计算法1．化为三次积分，其