第八章多元函数微分法及其应用

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1、第八章　　　多元函数微分法及其应用教学与考试基本要求1．理解多元函数、多元函数偏导数的概念，会求多元函数的定义域、二重极限；2．会求多元函数的偏导数、全微分、全导数等；3．会求空间曲线的切线及法平面、空间曲面的切平面及法线方程；4．会用多元函数微分法解决简单的最大值最小值问题．8.1　　多元函数的概念一、主要内容回顾二元函数定义设有变量和，如果当变量在一定范围内任取一组值时，变量按照一定的法则总有确定的值和它们对应，则称变量是变量的二元函数．记作　或其中变量称为自变量，称为因变量，自变量的取值范围称为函数的定义域．二元及二元以上的函数统称为多元函数．邻域（1）点集称为点的

2、邻域，记为．称为该邻域的中心，称为该邻域的半径．（2）点集称为点的去心邻域，记为．内点是平面上的点集，为一点，若存在，使，则称是的内点．边界点是平面上的点集，为一点，如果对于任意，内既有中的点，又有不属于的点，则称是的边界点．的边界点的全体，称为的边界．注：边界点可以属于也可以不属于．开集如果点集中的点都是的内点，则称为开集．连通集如果内的任意两点都可用中的折线连接起来，则称为连通集．开区域连通的开集．闭区域开区域加上它的边界．有界区域如果一个区域内的任意两点的距离都不超过某一常数，则称它为有界区域，31否则称为无界区域．二重极限设二元函数在点的某一去心邻域内有定义，如果

3、动点沿任意方式趋近于时，对应的函数值总是趋近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，或称函数在点处收敛于，记为注意：如果点只是沿某一条或几条特殊路径趋向于，函数趋向于某一确定的值，不能判断函数的极限存在；反过来，如果当沿不同的路径趋于时，趋于不同的值，就可判定在的极限不存在．注：二重极限的运算与一元函数极限的运算完全一致．连续（1）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续，并称为的连续点．（2）设二元函数在点的某邻域内的定义，如果，则称函数在处连续．其中称为在处的全增量．（3）若函数在内每一点都连续，称函数在内连续．（4）函数的不连续点称为函数的间断点．连续

4、函数的性质（1）有界闭区域上的连续函数必为有界函数．（2）有界闭区域上的连续函数必最大值和最小值．（3）有界闭区域上的连续函数必取得介于函数最大值和最小值之间的任何值．二、基本考试题型及配套例题题型I　判断题（1）若，则．　　（）31（2）若存在，都不存在，则不存在．　　（）解　　（1）错．　　　（2）对．题型II　填空题（1）函数的定义域是_____________．　　（2）．解（１）　　，所以　．　（２）．题型III　计算题（1）求；（2）求．解　（1）＝（2）　因为　，且由夹逼法则知，．题型IV　证明题（1）证明　不存在．（2）证明　函数在的连续性．证　（1）因为

5、　，31所以　不存在．（2）　因为，，所以，函数在处连续．三、习题选解（习题8－1）4．确定下列函数的定义域：（1）；　　　（2）；（3）；　　　　　（4）；（5）；　　　（6）；（7）；　　（8）．解（1）　　即，函数的定义域为．（2），，函数的定义域为．（3），函数的定义域为．（4），即　　　或　　．　由知　，而无解．所以，函数的定义域为．（5），函数定义域为．31（6），函数定义域为．（7），即，函数定义域为．（8），，函数的定义域为．5．求下列极限：（1）；　　　　（2）；（3）；　　　　（4）；（5）；　　　　　（6）．解　（1）　．（2）．（3）．（4）．（5

6、）．（6）因为　，　所以　．6．证明下列极限不存在：（1）；　　　　　　（2）．31证(1)因为　，所以　不存在．（2）因为，　　所以不存在．8.2偏导数与全微分一、主要内容回顾增量设函数在点的某邻域内有定义，（１）当固定在而有增量时，称为在处对的偏增量；（２）当固定在而有增量时，称为在处对的偏增量；（３）称为在处的全增量．一阶偏导数设函数在点的某邻域内有定义，（１）若存在，则称此极限为在处对的偏导数，记作，，或（２）若存在，则称此极限为在处对的偏导数，记作，，或．（３）若在区域内的每一点处对（或）的偏导数都存在，31则这个偏导数为的函数，此函数称为对（或）的偏导函数，记

7、为（或）．不致混淆时也称偏导函数为偏导数．几何意义（１）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率；（２）表示空间曲线在点的切线对轴的斜率．二阶偏导数若在区域内的偏导函数仍在内可导，则它们的偏导函数是的二阶偏导数，分别是：，　　，　　其中称为的二阶混合偏导数．同理可定义三阶及三阶以上的偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．注意：混合偏导数与求导顺序有关，但当在内连续时，．全微分设函数在点的某邻域内有定义，如果全增量可表示为其中不依赖于，仅与有关，，则称函数在点处可微，称为在点的全微分，记作，即．若函数在内的每一点处可微，称函数