第八章多元函数微分法及其应用

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1、第八章多元函数微分法及其应用一、本章教学目标：1.使学生掌握多元函数的基本概念2.使学生掌握多元函数的微分求解关系3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系二、本章基本要求：1.使学生掌握多元函数连续的计算2.使学生掌握多元函数微分的计算三、本章各节的教学内容：第一节多元函数的基本概念教学内容：①平面点集，n维空间②多元函数的概念③多元函数的极限④多元函数的连续性第二节偏导数教学内容：①偏导数的定义及计算法②高阶偏导数第三节全微分教学内容：①全微分的定义②全微分在近似计算中的应用第四节多元复合函数的求导法则教学内容：①多元复合函数的求导法则第

2、五节隐函数的求导法则教学内容：①一个方程的情形②方程组的情形第六节多元函数微分学的几何应用教学内容：①空间曲线的切线与法平面②曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度教学内容：①方向导数②梯度第八节多元函数的极值及其求法教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值②条件极值，拉格朗日乘数法四、本章教学重点：1.使学生掌握多元函数的连续2.使学生掌握多元函数的微分3.使学生掌握多元函数微分学的应用五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系六、本章教学方式：多媒体七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题-

3、63-第页八、本章主要参考书目：1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社九、本章思考题：1.多元函数极限，连续，可微之间的关系2.多元函数求导的法则及应用3.多元函数微分学及应用§8-1多元函数的基本概念一、区域1.邻域设是平面上的一点，是一个正数，与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域。记作，即，也就是。内点；开集；边界点；开区域；闭区域；有界点集；2.维空间一般地

4、，有序元数组的全体为维空间，而每个有序元数组称为维空间的一个点。称为该点的第个坐标，维空间记作。二、多元函数的概念1.多元函数的概念维空间内的点集，则可类似定义元函数或，这里。当时，元函数就是一元函数，当时，元函数统称为多元函数。多元函数的定义域就是使这个算式有确定值的变量所确定的点集。三、多元函数的极限如果对于任意给定的正数，总存在，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称为函数当时的极限，记作或。二元函数的极限叫做二重极限。关于二元函数极限的概念，可以推广到元函数。四、多元函数的连续性1.定义3设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是-

5、63-第页的内点或边界点且。如果则称函数在点连续。2.性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值。性质2（界值定理）在有界闭区域上的多元连续函数，如果在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。性质3（一致连续性定理）在有界闭区域上的多元连续函数必定在上一致连续。例1.求例2.求例3.求§8-2偏导数一、偏导数的定义及计算法1.设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，，或。例1.求在点处的偏导

6、数。例2.求的偏导数。例3.设，求证：。例4.已知理想气体的状态方程（为常量），求证：。二、高阶偏导数二阶偏导数：例5.设，求，，，及。-63-第页定理如果函数的两个二阶混合偏导数和在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等例6.验证函数满足方程+。例7.证明函数满足方程++，其中。§8-3全微分及其应用一、全微分的定义1.如果函数在点的全增量可表示为，其中不依赖于、而仅与有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即。2.定理1（必要条件）如果函数在点处可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，并且函数在点的全微分

7、为。3.定理2（充分条件）如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。例1.计算函数的全微分例2．计算函数在点处的全微分例3．计算函数的全微分§8-4多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则1.定理如果函数在点都可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可按如下公式计算：；，-63-第页，，例1．设，求和例2．设，求和例3．设，求例4．设，具有二阶连续偏导数，求和例5．设的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中的形式(1)(2)§8-5隐函数的求导公式一、一个方程的情形1.隐函数存在定理1设函数在点

8、的某一邻域内具有连续偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有。如果的二阶偏导数也连续，也可以求，经过计算得公式=。例1.验