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1、浅谈积分在几何中的应用学生姓名:张芳芳学号:20085031252数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师:沈明辉职称:博士摘要:积分在几何中的应用多种多样且技巧性强,为使学生灵活运用,熟练运用积分求几何图形中的体积和面积,本文将数学分析中积分在几何中的应用系统的进行了归纳.分析积分在几何中应用范围和方法:由积分求面积,由积分求体积,.它对快速了解并应用积分求几何有一定的意义.为了便于学生对定积分在几何中的应用易掌握，作者通过多年的教学经验研究出了一种形象、直观、易懂的教学方法：通过图形来选择定积分的上（下）限、积分变量、被积函数，最后求出图形的面积或体积。关键词:二
2、重积分;三重积分;定积分OnthecalculationofindefiniteintegralAbstract:IndefiniteIntegralmethodofcalculatingavarietyofskillsandstrong,Toallowflexibilityintheuseofstudents,skilledchoiceofintegrationmethodforcalculatingtheindefiniteintegral,Inthispaper,mathematicalanalysisofvariousmethodsofcalculatingthe
3、indefiniteintegralofthesystemissummarized .Analysisofthefourbasicindefiniteintegralsolution:directintegration,thefirstelementmethodfor,elementmethodforthesecondcategory,IntegrationdivisionItsindefiniteintegralquicklysolvingacertaindegreeofsignificance. Keywords:IndefiniteIntegral；forinteg
4、ral；distributionpoints引言9正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样.微分也有其逆运算积分法.它是研究求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。这个问题的提出首先是因为它的出现在许多实际问题之中。例如，已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点的斜率（或某一点的斜率所满足的条件）求曲线方程等。而这些问题的解决都与大家的日常生活息息相关。研究不定积分的方法,以后对生活,科研都有很大作用.1.预备知识1.1原函数及不定积分的概念⑴是函数的一个原函数，是指对定义在区间内的已知函数，如果存在可导函数，使对于任意的，都有或．⑵的不定积分，是指的
5、全体原函数（为任意常数）记作⑶原函数存在定理:连续函数一定有原函数.1.2不定积分的性质⑴ ⑵⑶⑷⑸2.运用积分的求体积的方法及举例2.1由平行截面面积求体积设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于轴的两平面与之间。为方便起见称为位于的立体。若在任意一点处作垂直于轴的平面，它截得的截面面积显然是的函数，记为，，并称之为的截面面积函数。由截面面积函数求的立体体积的一般公式为：。例一：求由两个圆柱面与所围立体的体积。2.2换元积分法92.2.1第一类换元积分法:㈠定义：设f(u)具有原函数F(u),即,.设u为中间变量:,可微,则根据复合函数微分法,有.根据不定积分的定义,就有.
6、即简化为：设f(u)具有原函数,可导,则有换元公式㈡第一换元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法,它的基本思想是“变换积分变量,使新的积分对于新的积分变量好求原函数”,采用的手段是“凑微分”,将凑成,如果说被积函数可以凑成这样两个因子的乘积（其中一个是的函数,另一个是的导数）,方可使用第一换元积分法.㈢用第一换元法的目的：求出积分,因此,换元以后的积分必须容易求出积分.一般地,换元后的函数是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式.㈣例题：例1:求解:令,则原积分=例2:求解:令,则原积分=㈤方法总结题型：⑴;(a)9⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;(7
7、);⑻⑼；⑽⑾；⑿⒀；⒁⒂9⒃⒄2.2.2第二类换元积分法（变量代换法）：㈠定义：设是单调、可导函数，并且，又设具有原函数，则换元公式，其中是的反函数㈡例题：⑴求解:令，，则原积分==⑵求（a>0）解：令，，则原积分=⑶求9解：令，则原积分=2.3分部积分法㈠定理：（分部积分法）若和可导，不定积分存在，则也存在，并有简写为：㈡规律：如果和选取不当就求不出结果，所以应用分布积分公式时恰当的选取和是关键，选取和一般要考虑以下两点：（1）要容易求得；（2）要比容易积出（3）对于积分,u、v哪个函数放进d里面呢1.幂函数与三角函数相乘
