函数的和差积商的导数

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1、函数的和差积商的导数(1)目的要求1.了解函数的和差积的推导.2.掌握两个函数的和、差、积的求导法则.3.能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.教学过程一、导入新课1复习求下列导数：(x。),，(X3)(X2)2.提出问题：求函数y=x3+x2的导数.(1)利用导数定义求f(X)=X3x2的导数.(x)二limf(x+Ax)—f(x)(x+也x)+(x+Ax)—(x+x)3x23x(x)2(:x:2x：x(x二22购AxQv.v：x)=3x22x.(2)探究：(X3)'=3X2,(X2),=2X,(X3X2),=3X22X.结论：

2、仅3x2)=(x3)(X2)'.3.猜想:[U(X)v(x)r=?[u(x)-v(x)r=?.、新授1.对上面猜想的证明：[u(x)・v(x)]=u(x)二v(x).证明:令y=f(x)二u(x)_v(x).：y二[u(x：x)_v(x：x)]-[u(x)v(x)]=[u(x：-x)-u(x)]二[v(x：=x)-v(x)]=：u二、V.yuuxxx啊'二hg号-:二叽号-叭W即[u(x)-v(x)}=u(x)—v(x).2.法则1两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），（U二V）=u二V.3.范例：①求y二x3•sinx的导数.②求y=X4—x?_

3、x3的导数.4.法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：III（UV）=UV+UV.指导学生尝试法则2的证明：令y=f（X）二u（x）V（x）._y=u（xf、X）V（Xf、x）「u（x）v（x）=U（XLX）V（XLX）「u（x）V（XLX）U（X）V（XLX「U（X）V（X）.yu（x：x）u（x）“vA（x：x）rv（x）=V（x：x）u（x）lim-X-Xjo-X因为v（x）在点X处可导所以它在点X处连续，于是当AX-.0时,V（Xrx）>V(x)•从而lim卫=limx)u(x)limV(x」V(x)

4、i.xAXx°X空刃XVVttVV=u(x)v(x)u(x)v(x).即:y=(uv)=uvuv说明：1.(uv)式uV.2.若C为常数，则(Cu)，二CuCMOCuACu;即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.(Cu)'=Cu「、例题例1求y=2x3-3x2■5x-4的导数.例2求y=(2x2,3)(3x.2)的导数.解法1:y=(2x23)1(3x-2)(2x23)(3x-2)1=4x(3x-2)(2x23)32=18x—8x9.解法2-y=(2x33)(3x_2)=6x3_4x29x-6y=18x-8x9.注:在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘积的

5、求导法则11例3求y=x（x2一•一八）的导数.XX-1）的导数.XX例j5求y=x-sincos—的导数.22然后求导,提示:在求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错。四、作业同步练习X03031