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1、倒易点阵习题集例题2.1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵.反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵.［证明］选体心立方点阵的初基矢量如图L8所示,a(人八人、4=#+y-z)乙“/人人人生=5(r+3'+z)a/八人公、«3=-(v-y+z)乙其中a是立方晶胞边长，木9£是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积V.=%•(%X%)=J4根据式(2.1)计算倒易点阵矢量,2万,27r.27V4=F&Xa3也=74%也=F%XCl2人XAy八zaaa222aaa
2、222AXA）'人zaaa222aaa222AX人y人zaaa222aaa222—=a.xa.=2/231=T（y+z）4/八A=7（z+x）a/人人、=7(f)—/?1=出X/=2%于是有:^2/?，人公、，2^^/人八、f2/zr/八aI=——(x+y),"=——(y+z),a=——(z+x)a-aa显然4也也正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是44/〃.同理，对面心立方点阵写出初基矢量Q(人人q=3(x+y)乙生=3(a+2)a,人人、%=于+日如图
3、1.10所示。初基晶胞体积V.=%•(%X6)=；/。根据式(2.1)计算倒易点阵矢量/人八人、•/人人人、«2^^/八人人、4=——(x+y-zj.b,=——(T+3'+z)e=——(x-y+z)aaa显然，A,%也正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4万/〃.2.2(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是(2/)3/匕，这里匕是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身.［证明］(a)倒易点阵初基晶胞体积为(%x4),现计算(4x4).由
4、式(2.1)知，.2乃,2乃.2万仄=寸。2义出力2=7%乂©也="6乂叼匕.vcvc此处匕而27r(«3X^I)X(6/IXtf2)=77{1的xaJ•%]/一](%xaJ•"J%}X)这里引用了公式：(AxB)x(CxD)=[(AxB)Z)]C-[(Ax^)c]Do由于（〃3乂%）・％=0,故有故有（、2,,24&x&=—4/、（2乃「（2乃）3/、（24了/?1-（Z?2X^）=——=-^^-（«2X«3）=——%vevc或写成/（2姆々,（&x4）=-ai-（a2Xa3）倒易点阵初基晶胞体积为晶
5、体点阵初基晶胞体积倒数的（2乃）3倍。（b）现要证明晶体点阵初基矢量,4，生”满足关系-Axa八b.x4八bixb,2乃-f—―”,=24一一J,%=2万一—一仄,(4x4)4•(与xbjb[・(b2x&)有前面知:(2万)~2x4=-^-a令q=2"会3=京两又知伪.（仇乂/?3）=」（2好，代入上式得：同理“=2，b：蓝b:G=24——=--=a.(仇X&)可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身.2.3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl),(a)证明倒易点阵矢量G(/向)=/由+奶2+他垂
6、直于这组平面(hkl)；(b)证明两个相邻的点阵平面间的距离〃(hkl)为：d(hkl)=-27T7G(hkl)(c)证明对初基矢量力,%，%互相正交的晶体点阵，有(1(hkl)=....1....fhffyf/y+〔外,(d)证明对简单立方点阵有d(hkl)=,，力2+6+-证明(a)参看图2.3,在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面A5C在三个晶轴上的截距分别是《现要证明G(hkl)垂直于A5C,只需证明G(hkl)垂直于平面A5C上的两个矢量CA和CB即可.图2.3G。酎)垂在于手面(NI)。
7、人啖-?CB噬若用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2.2),立即可得G(hkl)-CA=(hbx+kb2+lb3)-y---y-=hb1--lby-=0同理，G(hkl)・CB=a故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl).(b)点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为以他)=。4人;猊=:hbx+kb2+lb3_2/rG(hkl)\G(hkl)(c)如果晶体点阵的初基矢量％,4.，彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交.设仄=%£也=b2y,b3=b3z由倒易点阵基矢的定义伍=U(/X%)
8、也=1(。3X%)也=萨(％X/)VcVcVclrk2—+—4=2/r/qh=2/r/a一仇=口(/曲)=W?4)2+(坳"映『=J(2町2于是面间距为d(hkl)=2/r(d)对立方晶系中的简单立方点阵，a［=a2=a3=a,用(c)的结果可得"注1)=/；jlr+k-+T2.4二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB=4,AC=3f夹角BAC=4/3的平行四边形A8CO重复而成，试求倒易点阵的初基矢量.［解］
