2018届高考理科数学第一轮总复习：数学归纳法教案

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1、学案39　数学归纳法导学目标：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．自主梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．2．数学归纳法设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题________(或________)成立；(2)在假设______成立的前提下，推出________也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．3．数学归纳法证题的

2、步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立．(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．自我检测1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．如果命题P(n)对于n＝k(k∈N*)时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若

3、P(n)对于n＝2时成立，则下列结论正确的是(　　)A．P(n)对所有正整数n成立B．P(n)对所有正偶数n成立C．P(n)对所有正奇数n成立D．P(n)对所有大于1的正整数n成立3．(2011·台州月考)证明<1＋＋＋＋…＋1)，当n＝2时，中间式子等于(　　)A．1B．1＋C．1＋＋D．1＋＋＋4．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2B．3C．5D．65．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9

4、整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3探究点一　用数学归纳法证明等式例1　对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．变式迁移1　(2011·金华月考)用数学归纳法证明：对任意的n∈N*,1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.探究点二　用数学归纳法证明不等式例2　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…>均成立．变式迁移2　已知m为正整

5、数，用数学归纳法证明：当x>－1时，(1＋x)m≥1＋mx.探究点三　用数学归纳法证明整除问题例3　用数学归纳法证明：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．变式迁移3　用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．从特殊到一般的思想例　(14分)已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，

6、试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．【答题模板】解　(1)由已知得，又∵{an}的公差大于0，∴a5>a2，∴a2＝3，a5＝9.∴d＝＝＝2，a1＝1，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.[2分]∵Tn＝1－bn，∴b1＝，当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，∴bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－，化简，得bn＝bn－1，[4分]∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，即bn＝·n－1＝，∴an＝2n－1，bn＝.[6分](2)∵Sn＝n＝n2，∴Sn＋1＝(n＋1)2，＝.以下比较与Sn＋1的大小：当n＝1时，

7、＝，S2＝4，∴S5.猜想：n≥4时，>Sn＋1.[9分]下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证．②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，>Sk＋1，即>(k＋1)2.[10分]那么，n＝k＋1时，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．[12分]由①②可知n∈N*，n≥4时，>Sn＋

8、1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，Sn＋1.[14分]【突破思维障碍】1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．2．数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不