2018届高考理科数学第一轮总复习:数学归纳法教案

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1、学案39 数学归纳法导学目标:1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.自主梳理1.归纳法由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法.2.数学归纳法设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题________(或________)成立;(2)在假设______成立的前提下,推出________也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立.3.数学归纳法证题的

2、步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立.(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立,证明当________时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.自我检测1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为(  )A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32.如果命题P(n)对于n=k(k∈N*)时成立,则它对n=k+2也成立,又若

3、P(n)对于n=2时成立,则下列结论正确的是(  )A.P(n)对所有正整数n成立B.P(n)对所有正偶数n成立C.P(n)对所有正奇数n成立D.P(n)对所有大于1的正整数n成立3.(2011·台州月考)证明<1++++…+1),当n=2时,中间式子等于(  )A.1B.1+C.1++D.1+++4.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n>n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(  )A.2B.3C.5D.65.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9

4、整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3探究点一 用数学归纳法证明等式例1 对于n∈N*,用数学归纳法证明:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).变式迁移1 (2011·金华月考)用数学归纳法证明:对任意的n∈N*,1-+-+…+-=++…+.探究点二 用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式…>均成立.变式迁移2 已知m为正整

5、数,用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx.探究点三 用数学归纳法证明整除问题例3 用数学归纳法证明:当n∈N*时,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.变式迁移3 用数学归纳法证明:当n为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.从特殊到一般的思想例 (14分)已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,

6、试比较与Sn+1的大小,并说明理由.【答题模板】解 (1)由已知得,又∵{an}的公差大于0,∴a5>a2,∴a2=3,a5=9.∴d===2,a1=1,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.[2分]∵Tn=1-bn,∴b1=,当n≥2时,Tn-1=1-bn-1,∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-,化简,得bn=bn-1,[4分]∴{bn}是首项为,公比为的等比数列,即bn=·n-1=,∴an=2n-1,bn=.[6分](2)∵Sn=n=n2,∴Sn+1=(n+1)2,=.以下比较与Sn+1的大小:当n=1时,

7、=,S2=4,∴S5.猜想:n≥4时,>Sn+1.[9分]下面用数学归纳法证明:①当n=4时,已证.②假设当n=k(k∈N*,k≥4)时,>Sk+1,即>(k+1)2.[10分]那么,n=k+1时,==3·>3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1,∴n=k+1时,>Sn+1也成立.[12分]由①②可知n∈N*,n≥4时,>Sn+

8、1都成立.综上所述,当n=1,2,3时,Sn+1.[14分]【突破思维障碍】1.归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,本例中归纳性问题需要从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索出一般规律.2.数列是定义在N*上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一致的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的,数列中有不

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