arbitrage and asset pricing

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1、Chapter4ArbitrageandAssetPricing4.1一般市场结构ACompositeSecuritiesMosttradedsecuritieshavemorecomplexpayoffsthantheArrow-Debreusecurities.LetnN1,,denotethecompositesecuritiestraded,xXxxx[;;;;]bethennn,1,,n,nvectorofpayoffsonsecurity.Forallthesecurities,weconstructthepayoffmatrixX:xxx1,11,nN

2、1,Xxxx,1,nN,xxx1,,,,nNxxx,1,nN,4-1GeneralSecurityStructureGeneralSecurityStructureOnlybondPayoffspacec2c1GeneralSecurityStructureGeneralSecurityStructureOnlybondxbond=(1,1)Payoffspacecan’tbereachedc2c1GeneralSecurityStructureGeneralSecurityStructureAdds

3、ecurity(2,1)tobond(1,1)c2c1GeneralSecurityStructureGeneralSecurityStructureAddsecurity(2,1)tobond(1,1)c2•Portfolioof•buy3bonds•sellshort1riskyassetc1StatepricesqStatepricesqp(1,1)=q+q12p(2,1)=2q+q12Valueofportfolio(1,2)c23p(1,1)–p(2,1)=3q+3q-2q-q1212=q+2q12q2cq11BRedundantSecurities给定市场上的交易证券集合，它们的

4、支付可能是相关联的。比如，可能存在一只证券j，它的支付可以表示成其他证券支付的线性组合。在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的。令X为剔除证券j后的支付矩阵，X[,,,,,]xxxx，这里x是证券j1jj1j1Nnn的支付向量。令为所有N只证券组成的组合，而是剔除证券j后的N-1只证券的j*组合。我们已经假设x是其他证券的线性组合，因此，存在，使得jj*xXjj\j即：用其他证券的支付可以复制证券j的支付。现在考虑由任意一个生成的支付x：**xXXxXXX()\jjjj\jjjjj\\jjjj其中，是第j只证券的数量。括

5、号里面的是由删除证券j后的N-1只证券生成的组合，j没有证券j我们也可以生成相同的支付，所以证券j被称为redundantsecurity。4-2C证券市场的不同描述方式忽略市场摩擦，对市场结构X的描述中可以只包括具有线性独立支付的证券，这意味着X当中的证券数目不会超过。因为X是满秩的（它的N列是独立的），它的秩必须满足：rankX()min,NN。给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性独立的组合，记为,,,,。此时我们可以把每个组合当作一个证券，它们的支付矩阵是1nNxxx1,11,nN1,XXxxx,

6、,,1nN1,,,,nNxxx,,,1nN其中，X的第n列是组合的支付向量。X是满秩的。n4-3证明：令H,,，则H为（N×N）矩阵。因为各组合（即H的列向量）之1N间是独立的，H满秩。由于rankAB()minrankArankB(),()11rankX()rankXHH()minrankXHrankH(),()rankXH()rankX()于是，rankXH()rankX()N。因而XXH也是满秩的。用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。特别的，我们可以用这些

7、组合来复制原始证券：1XXH111H的第n列，记作H，给出了由组合,,生成的一个组合，也就是XH的第n,n1N列，这与开始的第n只证券的支付相同。4-41也就是说，,,的组合H复制了原始市场结构中的第n只证券。原始证券的1N,n1任意组合，都可以由,,的组合H复制：1N11XXHHXH()因此，如果不存在摩擦，独立组合,,提供了市场结构的一个等