arbitrage pricing theory (apt)

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1、Chapter14ArbitragePricingTheory(APT)Wenowimposerestrictionsonassetreturnsinordertoobtainexplicitassetpricingrule.14.1FactorModelofAssetReturnsWeassumethatassetreturnsarecharacterizedbyalinearfactormodel:F"（14.1）rrnn=+∑k=1bfn,kkn+ε,1n=,,Nwhere(1)Ef[][]0,,==Eε

2、∀nkkn2222(2)Ef[]1==,[]Eεσσ

3、二个风险项ε是与因子风险无关的剩余风险。资产的剩余风险之间是不相关的，n即剩余风险的协方差矩阵为对角阵。这些剩余风险反映了资产的非系统风险，也称为idiosyncraticrisk。FN<。风险因子具有单位方差且相互之间完全不相关的要求并不是必需的，也可以在一定程度上放松非系统风险完全不相关的要求。14-2对于单因素模型rrbf=++ε,1n=,,"Nnnnn可以得到2222σ=+bσσnnfεn2σσ=bbijijf进一步，由单因素模型决定收益率的资产构成的证券组合的收益率是rz==+∑∑rz()rbf

4、+ε=++=∑∑∑zrzbfzrεε+bf+pnnnnnnnnnnnnpppnnnnn方差是2222σ=+bσσppfεp其中，222σεp=∑znσεnn14-3（14.1）式描述的因子模型有别于定理9.4所要求的资产收益率的因子模型。在那里，特殊风险是可以通过某一个特殊组合完全消除的，这里没有附加这样的条件。线性因子模型（14.1）与CAPM中的风险分解公式（13.4）有明显的相似之处。它们的出发点是一样的，就是把风险分解成两个相加的成分，系统风险和非系统风险。然而，它们之间也存在着重要差别。首先，CAP

5、M确定了单一风险因子即市场收益风险，而线性因子模型只是说存在一组风险因子却没有指明是什么风险。第二，CAPM对非系统风险的协方差矩阵没有限制条件，而线性因子模型则有。CAPM建立了资产风险特别是由市场β值来度量的系统风险及其风险溢价或期望收益之间的关系。在这个意义上，CAPM为我们提供了一个定价模型。这里，我们希望达到同样的目的，我们要建立资产风险特别是由因子载荷度量的系统风险与其期望收益率r之间的关系。也就是说，我们要找出从{bk,1=,,"F}到r的映射。nnk,n14-4Forconvenienceinnotat

6、ion,letrbethevectorofreturns(N×1),fthevectoroffactors(F×1)andεthevectorofidiosyncraticrisk(N×1).Furthermore,letrbethevectorofexpectedreturns(N×1)andbthematrixoffactorloading(NF×).Then,wecanwritetheabovefactormodelasrrb=++fε（14.2）where(1)Ef[][]0==EεTT(2)E

7、ff[],[]==IEεε∑T(3)Ef[]0ε=and∑isdiagonal.14-52ExactFactorModelsandAPTConsiderthespecialcasewithoutidiosyncraticrisk,inotherword,所有资产都只有因子风险而ε=∀0,n.n2.1Exact1-FactorModel我们从最简单的只有一个风险因子的情形开始，即rrbfn=+∀,（14.3）nnn在下面的讨论中，我们假设至少有两个资产有非零且不同的因子载荷，下面的两个结论虽简单但有用。

8、引理14.1存在一个无风险组合。14-6引理14.2存在一个因子载荷为1的组合。证明：Supposethatthereexisttwoassetsij,s.t.bb≠andbb,0≠.Letijijrabfra=+,=.Consideraportfolioconsistingonlythesetwoassets:iiiiirw