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1、线性代数应用实例l求插值多项式右表给出函数上4个点的值，试求三次插值多项式，并求的近似值。ti0123f(ti)30-16解：令三次多项式函数过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入：>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref([A,b])得到x=100030100-20010-200011得到，三次多项函数为，故近似等于。在一般情况下，当给出函数在n+1个点上的值时，就可以用n次多项式对进行插值。l在数字信号处理中的应用-----数字滤波器系统函数u2x1y1
2、/4-1/4z-1x3x2z-13/8图1某数字滤波器结构图数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z-1。根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y与输入u之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。由于迟延算子z-1不是数，要用符号代替，所以取q=z-1，按照图示情况，可以写出：写成矩阵
3、形式为经过移项后，系统函数W可以写成：现在可以列写计算系统函数的MATLAB程序ea705，symsq%规定符号变量Q(1,2)=q;Q(2,3)=3/8*q-1/4;Q(3,1)=1;%给非零元素赋值Q(3,3)=0;%给右下角元素Q（3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零P=[2;1/4;0]%给P赋值W=inv(eye(3)-Q)*P%用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为W=[-16/(-8+3*q^2-2*q)-2*q/(-8+3*q^2-2*q)][-2*(3*q-2)/(-8+3*q^2-2*q)-2/(-8+3*q^2-2*q)][-16/(-8+3*q^2-2*q)
4、-2*q/(-8+3*q^2-2*q)]我们关心的是以y=x3作为输出的系统函数，故再键入pretty(W(3))整理后得到用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。l信号与系统课程中的应用-----线性时不变系统的零输入响应描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为n≥m已知y及其各阶导数的初始值为y(0)，y(1)(0)，…，y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。解：当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）其中p1，p2，…，pn是特征方程a1ln+a2ln-1+…+anl+an+1=
5、0的根，它们可用roots(a)语句求得。各系数C1，…，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有C1+C2+…+Cn=y0y0=y(0)p1C1+p2C2+…+pnCn=Dy0(Dy0表示y的导数的初始值y(1)(0))…………………………………写成矩阵形式为即V·C=Y0，其解为C=VY0式中V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。MATLAB程序ea703.ma=input('输入分母系数向量a=[a1，a2，...]=');n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量Y0=[y0，Dy0，D2y0，...]=');p=root
6、s(a);V=rot90(vander(p));c=VY0';dt=input('dt=');tf=input('tf=')图2三阶系统的零输入响应t=0:dt:tf;y=zeros(1，length(t));fork=1:ny=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t，y)，gridn程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[3，5，7，1];dt=0.2;tf=8;而Y0取[1，0，0];[0，1，0];[0，0，1]三种情况，用holdon语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。l减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和
7、脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。营养每100g食物所含营养(g)减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶大豆面粉乳清蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位（100g），乳清的
