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《【数学】离散数学课件第9章半群和群》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第9章半群和群semigroupandgroup§9.1二元运算复习binaryoperationrevisitedA上二元运算f：A×A→Af处处有定义的函数。Dom（f）＝A×A，对任意a，b∈A，f(a，b)∈A，唯一确定。二元运算常记做＋，－，×，*，?，等等对任意a，b∈A，a?b∈A说成A对?封闭。A＝{a1,a2,⋯⋯,an}时，二元运算可以用运算表给出。二元运算的性质1可换commutativea*b=b*a2结合associativea*(b*c)=(a*b)*c3幂等idempotent精品学习资料可选择pd
2、f第1页，共38页-----------------------a*a=a特殊元素单位元对任意a∈A，e*a=a*e＝a.单位元也叫恒等元零元对任意a∈A，0*a=a*0＝0精品学习资料可选择pdf第2页，共38页-----------------------逆元对任意a，b∈A，a*b=b*a＝ea,b互为逆元代数结构(A,*)A上定义了二元运算满足1)封闭性2)结合律-----------半群3)有单位元---------独异点4)有逆元-----------群5)可交换-----------交换群例子：1)(Zn+),(Z
3、n,)*2)(A,*)字符串的连接HomeworkP323－32416，20，22，24，25，26精品学习资料可选择pdf第3页，共38页-----------------------§9.2半群semigroup半群定义：(S,*)*是S上乘法，满足结合律。半群的例(Z，＋），（Z，×），（N，×），（N，＋），（Q，＋），（R，×），（P(S),∪），（P(S),∩），（Mn，＋），（Mn，×），S上全体映射，对于复合，（L，∧），（L，∨），L是格（A*,）,定理1.半群中，n个元素的乘积与乘法的次序无关。幂power：
4、设（S，*）是半群，a∈S，定义a的幂power：精品学习资料可选择pdf第4页，共38页-----------------------1nn-1a＝a，a=a*a.0a=？-na=?mnm+na*a=amnmn(a)=a.子半群subsemigroup子独异点submonoid设（S，*）是半群，TS，T对*封闭，则（T，*）也是半群，称为（S，*）的子半群。设（S，*）是独异点，TS，T对*封闭，且e∈T，则（T，*）也是独异点，称为（S，*）的子独异点。精品学习资料可选择pdf第5页，共38页---------------
5、--------（N，＋），（Z，＋），（Q，＋），（R，＋）前一个是后一个的子半群，也是子独异点。（N，×），（Z，×），（Q，×），（R，×）前一个是后一个的子半群，也是子独异点。设（S，*）是半群，（S，*）是（S，*）的子半群。设（S，*）是独异点，（S，*）是（S，*）的子独异点。设（S，*）是独异点，({e},*)是（S，*）的子独异点。同构isomorphism和同态homomorphism精品学习资料可选择pdf第6页，共38页-----------------------同构设（S，*）和（T，*’）是两个半群
6、，函数f：S→T是一一对应，a，b∈S，f(a*b)=f(a)*’f(b).称（S，*）和（T，*’）同构，记做（S，*）（T，*’）.验证两个半群（S，*）和（T，*’）同构的方法：定义一个映射f：S→T，证明(1)f单，f(a)=f(b)a=b.(2)f满，Ran(f)=T.(3)f保持运算f(a*b)=f(a)*’f(b).n例.令T＝{2
7、n∈Z}，则且（Z，＋）（T，×）。证明.令f：Z→T，n对任意n∈Z，f(n)=2.（1）f处处有定义.（2）f单:f(m)=f(n),即mn2=2m=n。精品学习资料可选择pdf第
8、7页，共38页-----------------------（3）f满.（4）f保持运算：m+nf(m+n)=2mn=2×2=f(m)×f(n)定理2.若S，T同构，则恒等元对应恒等元，零元对应零元，逆元对应逆元。同态Homomorphisim在同构的三个条件中，若仅满足(3)叫做同态。若仅满足(1)(3)称为同构嵌入。若仅满足(2)(3)叫做满同态。例20．设A＝{0，1}，则自由半群（A*,）与（A，＋）同态，（A，＋）的二元运算＋由乘法表给出：＋01001110精品学习资料可选择pdf第8页，共38页-----------
9、------------例.(Z,+)(Zn,+),(Z,×)（Zn，×）.定理3.恒等元的满同态像是恒等元设（S，*），（T，*）是独异点，恒等元分别是e和e’，同态f:（S，*）（T，*’）,则f(e)=e’.定理4.子半群的同态像是子半群。证明.设f：（S
