【数学】高二数学奥赛讲义

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1、优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（11）an

2、bna

3、b〔nN*〕；优秀学习资料欢迎下载高二数学奥赛讲义（12）如p为素数，n1〔a,p〕1,就p

4、a1.优秀学习资料欢迎下载一、整除例1.证明：对于任何自然数n和k,数f〔n.k〕2n3k4nk10都不能分解成如干个连续的正整数之积.优秀学习资料欢迎下载1.整数的简洁性质例2.设a,a,a是1，2，，7的一个排列，求证：p〔a1〕〔a2〕〔a7〕必是偶数.优秀学习资料欢迎下载（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，仍有其他正因数的数叫做合数，1既不是素

5、数也不是合数.{正整数}={1}{素数}{合数}.（2）互素；假如两个整数p与q没有共同的素因数，就称p与q互素，记为（p，q）=1.（3）设a为大于1的整数，就a的大于1的最小因数肯定是素数.（4）设a为大于1的整数，如对全部不大于a的素数p，有p？q（表示a不被p整除），就a是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为2n〔nZ〕的形式；不能被2整除的数称为奇数，可表示为127例3.如三个大于3的素数a,b,c满意关系式2a1275bc,求证:9

6、abc.优秀学习资料欢迎下载2n1〔nZ〕的形式.（2）奇数与偶数的性质：①奇数偶数；②奇数个奇数之和为奇数，偶数个奇数

7、之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；③两数和与两数差的奇偶性相同；④积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；⑤偶数与任何整数的乘积都为偶数；⑥n个偶数的积为2n的倍数.3.带余除法优秀学习资料欢迎下载如a,b是两个整数，b0，就肯定有且只有两个整数q，r，使得abqr〔0rb〕成立.r0时，例4.试求出全部的正整数a,b,c，其中1abc,使得〔a1〕〔b1〕〔c1〕是abc1的因数.优秀学习资料欢迎下载称b整除a，记作b

8、a.优秀学习资料欢迎下载（1）如两个整数m与n被b除的余数相同，就b〔mn〕;反之,如b

9、〔mn〕，就m与n被b除的余数相优秀学习资料欢

10、迎下载同；（2）n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；优秀学习资料欢迎下载（3）设b是整数，就任意4.整除的性质p〔pb〕个整数中，至少有两个数被b除的余数相同.优秀学习资料欢迎下载设d为a,b的最大公因数，记为〔a,b〕d;m是a,b的最小公倍数，记为[a,b]m，整除有以下性质；优秀学习资料欢迎下载（1）如a

11、b,b

12、c,就a

13、c；（2）如a

14、b,c0,就ac

15、bc；优秀学习资料欢迎下载（3）如c

16、a,c

17、b,就对任何m,n,有c

18、manb;例5.设a是正整数，a100,并且a323能被24整除，求全部这样的a的个数.优秀学习资料欢迎下载（4）如a,b1,a

19、b

20、c,就ab

21、c优秀学习资料欢迎下载（5）如〔a,b〕1,a

22、c,b

23、c,就ab

24、c（6）如〔a,b〕1,就〔ac,b〕〔c,b〕优秀学习资料欢迎下载（7）如〔a,b〕d,就〔a,bta〕d〔t为整数〕；优秀学习资料欢迎下载（8）如c0,就〔a,b〕c〔ac,bc〕；优秀学习资料欢迎下载（9）如c0,且c是a,b的公因数，就a,b〔a,b〕;优秀学习资料欢迎下载（10）[a,b]〔a,b〕ab；ccc优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载二、同余定义设m是一个给定的正整数，假如两个整数a,b用m除所得的余数相同，就称a,b对模m同例2.如nN*，且2n1与3n1都是完

25、全平方数，那么n必为40的倍数.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载余，记为ab〔modm〕优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载同余的基本性质（1）反身性：aa〔modm〕.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（2）对称性：如ab〔modm〕，就ba〔modm〕.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（3）传递性：如ab〔modm〕,bc〔modm〕,就ac〔modm〕.优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（4）如（5）如ab〔modm〕,cd〔modm〕,就acbd〔modm〕ab〔modm〕,cd〔modm〕,就acbd〔modm〕例3.设E{1,2

26、,3,,200},G{a1,a2,,a100}100E,且G具有下列两条性质；（1）对任何优秀学习资料欢迎下载（6）如nab〔modm〕就an*b〔modm〕〔nN〕.1ij100,恒有aiaj201;（2）aii110080.证明：G中的奇数的个数是4的倍数，优秀学习资料欢迎下载优秀学习资料欢迎下载（7）如acbc〔modm〕,c0,就ab〔modm〕,当〔c,m〕1时,有ab〔mo