数理金融考试答案11春05

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1、2010年春季学期研究生课程考核试题参考答案考试科目：数理金融学生所在院（系）：理学院数学系学生所在学科：概率论与数理统计1.（16分）Proof:证明这里我们给出构造性的证明，由公理1.9，对所有，存在，使得.不失一般性，假定（否则，对所有.这样，对所有，定义效用函数，它显然满足定理的条件(a)和(b)）.由公理1.1—1.3，对任意的，有三种可能情形：情形1当时，定义.情形2当时，由公理1.8，存在唯一的，使得.此时定义.情形3当时，定义.以下表明满足性质(a)和(b).性质(a)必要性假定且，要证.当时，由定义

2、，且，其中是唯一满足关系式的数.显然此时.当时，由定义，.当时，由定义，，其中是唯一满足关系式的数.现由公理1.3，.往证.若此式不成立，即，则由公理1.7从而导出矛盾.因此必有，这样.当时，由定义，，其中是唯一满足关系式的数.但.充分性假设已知，且，往证.当，且时（其中是唯一满足关系式的数），由定义，此时且.由公理1.7，因为，故.当且时，由定义，.当时（其中是唯一满足关系式的数），9且.因为，由公理1.7，.当时，其中是唯一满足关系式的数.由定义，且.由公理1.7和1.3，因为，故.这就完成了性质(a)的证明.性

3、质(b)必要性假设但.那么或者或者.由性质(a)，这意味着或者或者.从而导出矛盾，因此必有.充分性假设，但或者.由性质(a)，或者.也导出矛盾，因此由公理1.2必有.性质1.12设函数是严格单调增加的正值函数，则复合函数是一效用函数.其逆也成立.所以，在不考虑严格单调增加的正值变换的情况下，效用函数是唯一的.这样的效用函数称为序数效用函数.2.（16分）叙述并证明资本资产定价模型（Sharpe-Lintner-MossinCAPM），并陈述BlackCAPM，利用该资本资产定价模型对下面问题进行分析：解资本资产定价模

4、型：在理想的无摩擦资产市场上假设资产数量是固定的，投资者是其终期财富的期望效用最大的风险厌恶者。如果市场上无风险资产可以获得，当市场达到均衡时，任意风险资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成比例，即有关系式，其中证明：由性质4.3当市场达到均衡时有，将此代入(3-3a)即得，写成分量形式即为.（4-7）当投资者在市场上不可获得无风险资产时，相应的优化问题可以写为，（4-8）9一阶条件为，（4-9a）.（4-9b）最优资产组合是，显然.而市场达到均衡的必要条件是任意资产的供应量等于需求量，即，故对，.（4

5、-11）由于，由(4-11)得，（4-12）因此市场资产组合，由两基金分离定理，它必是最小方差资产组合.记是与零Beta相关的资产组合，是其收益率，则由(3-11a)得.（4-13）总结以上讨论，我们有定理4.4(Sharpe-Lintner-MossinCAPM)假设市场上无风险资产可以获得，当市场达到均衡时，任意风险资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成比例，即有关系式，（4-6）其中定理4.5(BlackCAPM)假设市场上无风险资产不可以获得，当市场达到均衡时，任意风险资产的收益率可以表达成，其

6、中是与市场资产组合零beta相关的资产组合的收益率.（4-13）也称为Black两因子资本资产定价模型.问题分析：由确定等价定价公式(5-15)，9，得.求解上式得.又，故.又，假如投资新项目，那么公司在时期的总收入(不考虑投资成本)是.因为公司市场价值比原来的上涨了，而投资成本为，故可以得到补偿，所以可以投资新项目.3.(16分)叙述二基金分离定理并证明其主要结论。解：定理1.3（两基金分离定理）在上面的市场假设和记号下，任一最小方差资产组合都可以唯一地表示成全局最小方差资产组合和可分散化资产组合的资产组合，（1-

7、14）其中，且的收益与方差满足关系式.假设市场上仅有种风险资产（即无风险资产不存在），其收益率向量记为，投资者投资此种风险资产的资产组合向量记为.两资产收益率的协方差记为，其对应的协方差矩阵记为.特别记向量，并假定为非退化矩阵，.相应地，该资产组合的收益率记为，总风险记为9.再假定市场上的投资者的效用函数为均方效用函数.这样，投资者选择资产组合的规律是：对一定的期望收益率，选择资产组合使其总风险最小.它可以写成以下的线性规划问题，(1-1a)约束条件为(1-1b)(1-1c)我们应用拉格朗日（Lagrange）乘数法

8、求解(1-1).令(1-2)最优解的一阶条件为(1-3a)(1-3b)(1-3c)由方程(1-3a)我们有最优解(1-4)将(1-4)代入(1-3b)和(1-3c)：(1-5a)，，(1-5b)其中，记，.（1-6）显然，由于已知非退化及，应用哥西-许瓦兹有(Cauchy-Schwarz)不等式可以证明.从而方程(1-5)有解(若，则，此时除外