[课程]数理金融考试答案11春05

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1、2010年春季学期研究生课程考核试题参考答案考试科目：数理金融学生所在院(系)：理学院数学系学生所在学科：概率论与数理统计1.(16分)Proof:证明这里我们给出构造性的证明，由公理1.9,对所有"B，存在y*eB使得x*>：z>：y*.不失一般性,假定x*>•y*(否则，对所有zw~z~才•这样，对所冇"B,定义效用函数t/(z)三0,它显然满足定理的条件(a)和(b)).由公理1.1—1.3,对任意的"B,有三种可能情形：情形1当Z〜T时，定义〃(z)=l・情形2当FazAy*时，由公理1.8,存在唯一的6Z

2、6(0,1),使得[6zx*+(l-6f)/]〜z・此时定义U(z)=a・情形3当z〜h时，定义(/(z)=0.以下表明U满足性质(a)和(b).性质(a)必耍性假定gtB且©Az?，要证U(zJ〉(/(Z2)・当Z]~x>z2>-y*时，由定义,17(©)=1且U(z2)=a，其中aw(0,1)是唯一满足关系式[qF+(1-⑵)门〜s的数•显然此时U⑴=>a=t/(z2)•当zx-x>z2-y*时,由定义,t/(Zi)=l>0=t/(Z2)・当x"Zjz2>y*时，由定义，U(zi)=ai,其'I'atg(0,

3、1)是唯一满足关系式[aix+(l-ai)y]-zi的数.现由公理1.3,可〜[a】兀*+(1-&[))「]a[a2x+(1-^2)/]~z2.往证a{>a2.若此式不成立，即axcr2,这样t/(zJ=Q[>"(?2)=&2・当x>y*时,由定义，t/(zJ=Q

4、,其中Q]W(0」)是唯一满足关系式+(1-6T,)/]~知的数•但〃(zj=⑷>0=(/(6)•充分性假设已知©山2丘3，且(/(©)〉U(Z2)，往证©AZ

5、2.当t/(zj=l，且U⑵)=8时(其中也丘(0，1)是唯一满足关系式a2x+(-a2)y-z2的数)，由定义，此时©〜F〜[2+(1-1))门且〜[。2扌+(1一6)门・由公理L7,因为l>a2,故ZiaE・当J/(Z])=lKt/(^2)=0时,由定义，Z]~Tay*〜z2.当=e时(其中ee(O,l)是唯一满足关系式[匕£+(1-匕)才]〜&的数)，石~[af+(l-q)y*]且E〜[a2x*+(l-a2)/].因为ax>a2,由公理1.7,zx>z2-当t/(zj=e，t/(Z2)=0时，其中⑷是唯一满

6、足关系式[af+(1—Qjy*]~知的数.由定义,知~[Q]F+(1-Qi)x)「]且Z2~[0兀*+(l-0)y*].由公理1.7和1.3,因为6Zj>0,故勺ae•这就完成了性质(a)的证明.性质(b)必要性假设Z]~Z2但阻)工％)・那么或者%)>%)或者u(z,)Z2或者•由性质(a),t/(zJ>"(Z2)或者U^)

7、性质1.12设函数G:RTR是严格单调增加的正值函数，则复合函数GoU:BtR是一效用函数.其逆也成立.所以，在不考虑严格单调增加的正值变换的情况卜，效用函数是唯一的.这样的效用两数称为序数效用函数.1.(16分)叙述并证明资本资产定价模型(Sharpe-Lintner-MossinCAPM),并陈述BlackCAPM,利用该资本资产定价模型对下面问题进行分析：解资木资产定价模型：在理想的无摩擦资产市场上假设资产数量是固定的，投资者是其终期财富的期望效用最人的风险厌恶者。如來市场上无风险资产可以获得，当市场达到均衡

8、时,任意风险资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成比例，即有关系式E(X—/叽)-尸)，其中炕=cov(X,XA/)/var(XjW,XA/)证明：由性质4.3当市场达到均衡时有叱=叫“，将此代入(3・3a)即得E(X)—厂1二気'(E(X)W—厂)二皆(E(X)叽-〃写成分量形式即为E(XJ_r=竺琴&(E(Xm)-C=0w(E(XQ-(4-7)当投资者在市场上不可获得无风险资产时，相应的优化问题可以写为max[/*(w'E(X),"》w)+2(l-l'w),i阶条件为o=U=U；(・)E(X)+

9、wU^(•)》Al,0=1—l'w.最优资产组合是(4-8)(4-9a)(4-9b)2心)工1宀単工曲)+bU；、2U；(•)厶=叱/+1+2山I=4冲+也叭，显然a^a2=.而市场达到均衡的必要条件是任意资产的供应量等于需求量，即mkti=w：,故对i=,EMI工IS"'三01%+02%•(4・11)由于W：w1=(加竝1，…,加仏)'1=1，由(4・1