【数学】高二数学奥赛讲义

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1、优秀学习资料欢迎下载（11）an

2、bna

3、b〔nN*〕；n1高二数学奥赛讲义（12）如p为素数，〔a,p〕1,就p

4、a1.一、整除例1.证明：对于任何自然数n和k,数f〔n.k〕2n3k4nk10都不能分解成如干个连续的正整数之积.1.整数的简洁性质例2.设a,a,a是1，2，，7的一个排列，求证：p〔a1〕〔a2〕〔a7〕必是偶数.（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，仍有其他正因数的数叫做合数，1既不是素数也不是合数.{正整数}={1}{素数}{合数}.（2

5、）互素；假如两个整数p与q没有共同的素因数，就称p与q互素，记为（p，q）=1.（3）设a为大于1的整数，就a的大于1的最小因数肯定是素数.（4）设a为大于1的整数，如对全部不大于a的素数p，有p？q（表示a不被p整除），就a是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为2n〔nZ〕的形式；不能被2整除的数称为奇数，可表示为127例3.如三个大于3的素数a,b,c满意关系式2a1275bc,求证:9

6、abc.2n1〔nZ〕的形式.（2）奇数与偶数的性质：①奇数偶数；②奇数个奇数之和为奇数，偶数个奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数

7、，偶数加偶数为偶数；③两数和与两数差的奇偶性相同；④积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；⑤偶数与任何整数的乘积都为偶数；⑥n个偶数的积为2n的倍数.3.带余除法如a,b是两个整数，b0，就肯定有且只有两个整数q，r，使得abqr〔0rb〕成立.r0时，例4.试求出全部的正整数a,b,c，其中1abc,使得〔a1〕〔b1〕〔c1〕是abc1的因数.称b整除a，记作b

8、a.（1）如两个整数m与n被b除的余数相同，就b〔mn〕;反之,如b

9、〔mn〕，就m与n被b除的余数相同；（2）n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；（3）设

10、b是整数，就任意4.整除的性质p〔pb〕个整数中，至少有两个数被b除的余数相同.设d为a,b的最大公因数，记为〔a,b〕d;m是a,b的最小公倍数，记为[a,b]m，整除有以下性质；（1）如a

11、b,b

12、c,就a

13、c；（2）如a

14、b,c0,就ac

15、bc；（3）如c

16、a,c

17、b,就对任何m,n,有c

18、manb;例5.设a是正整数，a100,并且a323能被24整除，求全部这样的a的个数.（4）如a,b1,a

19、bc,就ab

20、c（5）如〔a,b〕1,a

21、c,b

22、c,就ab

23、c（6）如〔a,b〕1,就〔ac,b〕〔c,b〕（7）如

24、〔a,b〕d,就〔a,bta〕d〔t为整数〕；（8）如c0,就〔a,b〕c〔ac,bc〕；（9）如c0,且c是a,b的公因数，就a,b〔a,b〕;（10）[a,b]〔a,b〕ab；ccc优秀学习资料欢迎下载二、同余定义设m是一个给定的正整数，假如两个整数a,b用m除所得的余数相同，就称a,b对模m同例2.如nN*，且2n1与3n1都是完全平方数，那么n必为40的倍数.余，记为ab〔modm〕同余的基本性质（1）反身性：aa〔modm〕.（2）对称性：如ab〔modm〕，就ba〔modm〕.（3）传递性：如ab

25、〔modm〕,bc〔modm〕,就ac〔modm〕.（4）如（5）如ab〔modm〕,cd〔modm〕,就acbd〔modm〕ab〔modm〕,cd〔modm〕,就acbd〔modm〕例3.设E{1,2,3,,200},G{a1,a2,,a100}100E,且G具有下列两条性质；（1）对任何（6）如nab〔modm〕就an*b〔modm〕〔nN〕.1ij100,恒有aiaj201;（2）aii110080.证明：G中的奇数的个数是4的倍数，（7）如acbc〔modm〕,c0,就ab〔modm〕,当〔c,m〕1时,有a

26、b〔modm〕.〔c,m〕且G中全部数字的平方和为一个定值.*（8）如ab〔modm〕,n

27、m,nN*,就ab〔modn〕（9）如ab〔modmi〕,i1,2,,n,ab〔mod[m1,m2,mn]〕〔nN〕（10）完全平方数模4同余于0或1；模8同余于0，1或4；模3同余于0或1；模5同余于0，1或-1，完全立方数模9同余于0，1或-1，整数的四次方模16同余于0，1.例1.求〔7200436〕818的个位数字是？例4.写出全部的由3个素数组成公差为8的等差数列.优秀学习资料欢迎下载三、抽屉原理抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理

28、，它是数学中证明存在性的一种特别方法.例4.在ABC中，求证：cosAcosB3cosC.2定理1把mn1个元素分成n个集合，