变量变换在解常微分方程中的应用.doc

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1、-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）YibinUniversity2011届毕业设计（论文）题目变量变换在解常微分方程的应用系别数学与应用数学系专业数学与应用数学学生姓名杨孝刚学号070201017年级2007级指导教师罗显康-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）摘要变量变换是解常微分方程的一种辅助方法。它能使问题简化，变量变换思想是解常微分方程的重要思想之一。但是往往不被人们重视，结合近几年的学习，从变量思想在微分方程中的应用出发，探讨变量思

2、想的重要性，以引起广大学习者的重视。在常微分方程中，许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成。文章就变量代换在几类微分方程中的应用进行探究，通过联系实例给出了变量变换在求解微分方程中的具体应用。关键词：变量代换法；变量思想；微分方程；运用-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）目录一、绪论………………………………………………………………………………4二、变量变换的定义…………………………………………………………………4三、变量变换在解常微分方程的几种类型的应用………………………

3、…………43.1齐次方程与可化为齐次方程的微分方程…………………………………………43.2一阶线性方程………………………………………………………………………73.3一些特殊类型的一阶常微分方程…………………………………………………73.4伯努利（Bernoulli）方程…………………………………………………………113.5黎卡提（Riccati）方程……………………………………………………………113.6非齐次线性微分方程………………………………………………………………123.7变系数齐次方程…

4、…………………………………………………………………123.8高阶微分方程………………………………………………………………………13四、变量变换的优越性……………………………………………………………………14结束语……………………………………………………………………………………14致谢………………………………………………………………………………………15参考文献…………………………………………………………………………………16-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）一、绪论变量变换在解常微分方程

5、中起着重要的作用。变量变换的思想在解常微分方程有着广泛的应用，对于某些微分方程，直接求解很难进行，但如果对方程进行一些简单的变量变换，则很容易求解，从而达到求解的目的。因此，在求解这些微分方程时，需要根据方程的特点，引入适当的变量，将方程化为易于求解的类型。本文就变量变换这种辅助方法进行讨论，阐述其再求解微分方程中所起的重要作用。二、变量变换的定义变量分离方程是一阶微分方程中最基本方程类型，其他各种不同类型的一阶微分方程都可通过变量变换变形等方法，最终转换成变量分离方程进而求出结果。步骤：（1）

6、分离变量（2）对方程两边同时积分并整理通解（3）由初始条件求方程的特解三变量变换在解常微分方程的几种类型的应用3.1齐次方程与可化为齐次的微分方程形如的微分方程称为变量分离方程，可以利用分离变量的方法将原方程写成，然后借助于积分来求其通解，这是最基本的简单类型，以后的许多类型均可进行适当的变量代换转化成该种类型。齐次方程：形如的方程称为齐次方程，可以通过引入变量（或）代入原方程，得，这是关于变量u与x的可分离变量的方程，分离变量得，两端积分后得u，再以代替u即得齐次方程的解。准齐次方程，可以经过

7、变量代换化为齐次方程，然后再转化为变量分离方程。例如的方程，可分三种情况讨论。讨论如下：-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）（1）当时，原方程变为为齐次方程，令即可转化为变量分离方程。（2）当时，即二阶行列式时，令，则原方程变为，再令，则有代入上式：得即转化为变量分离方程。（3）当即二阶行列式且、不全为0时，联立方程组，令其解为，因为、不全为0，所以，再进行坐标变换，原式化为,这是关于X、Y的齐次方程，从而可以利用分离变量的方法求解。形如的方程，通过变量变换，可化为变量分离方程例1解方程解

8、：令，可得代入方程得：分离变量，再积分，化简整理可得再代回原变量，得方程的通解例2解方程解：令则方程可变形为:-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）整理后可得分离变量方程：分离变量再积分，整理后得：再代回，可得原方程的通解：例2解方程解：解方程组：解得作坐标变换：得代回方程为：积分可得：代回原变量得原方程的通解：例3解方程解：这个方程既不是分离型，也不是线性型。但是可以通过变形把它化为齐次型：令，，，得到即于是得到-15-宜宾学院2011届毕业设计（论文）得：，（绝对值所产生的符号被任意常数