第22讲 从整体上看问题

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1、第22讲从整体上看问题黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个小区域里面，所以局部化之后又要整体化.---陈省身知识方法扫描解数学题，常常化“整”为“零”，使问题变得简单，以利于问题的解决.不过有时则反其道而行之，需要我们由“局部”到“整体”，站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综观全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握问题的本质，从中找到解决问题的途径.成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”的意思就是如果过分注意细节，而忽视全局，我们就不会真正地理解一个东西。解数学题也是这样，有时候不能过分拘泥于细节，要注意从整体上看问题，即着眼于问题的

2、全过程，抓住其整体的特点，往往能达到化繁为简、变难为易的目的，促使问题的解决．所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。经典例题解析http://www.028aide.comhttp://www.17kdy.com我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家，在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：　　例1甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是

3、50千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一只狗，狗每小时跑5千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时再往甲这边跑……，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少路？　分析我们设狗从甲出发第一次碰到乙时所用时间为t1，所走路程为S1；再往回跑遇见甲所花时间为t2，所走路程为S2；这样依次有t3、S3、t4、S4……；直到甲、乙两人相遇为止，此时有tn，Sn．显然狗所花时间为t1+t2+t3…tn，所走路程为S1＋S2+S3+…+Sn．只要逐个算出，总能算出最终结果．这是通常的算法，然而绝非好方法

4、．　　苏步青教授略加思索，就把答案告诉了这位高斯故乡的同行．这位数学家满意地笑了．苏步青教授是这样思考的：狗不断地跑，从出发到甲、乙相遇为止，这样狗就以每小时5千米的速度整整跑了50÷（3+2）=10小时，答案是：5×10=50千米．评注苏步青教授的高明之处就在于着眼于“狗不断地跑”这个全过程，抓住“直到甲、乙相遇为止”这个整体去分析，这就把局部看来（如狗来回每次与甲、乙相遇）十分繁琐的问题变得十分简便了．例2有甲，乙，丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，购丙1件，共需要315元。若购甲4件，购乙10件，购丙1件，共需420元。问购甲，乙，丙各一件共需多少

5、元？分析9通常的想法是先求出甲，乙，丙三种货物的单价是多少。但是由于题目所给的已知条件少于未知数的个数，要求单价势必就得解不定方程，能否不求单价，而直接求甲，乙，丙各一件的价格当成一个整体来求呢？这就要求从整体上把握条件与结论之间的联系。设甲、乙、丙的单价分别为元，则由题意得问题实际上只要求的值，而不必非求的值，因此设法分离出的值。原方程组可以得到如下等价变形：易得，=105，即购的甲、乙、丙各一件共要105元。例3正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多

6、少刀？解：我们从整体来考虑，先计算所有三角形的内角和。汇聚在正方形内一点的诸角之和是360°，而正方形内角和也是360°，共有360°×1999＋360°，从而三角形的个数是由于每个三角形有三条边，而正方形纸原来的4条边当然不用剪；其余的边，由于是两个三角形的公共边，剪一刀出两条边，所以共剪的刀数是例4求的展开式中的系数。分析中的系数为1，2，3，中取出2个作积的总和，即上式很复杂难以下手，若把这些和视为整体，观察其各局部的特征，联想到的展开式，不难发现下面的解法。由得9把需要解决的问题视为一个整体，从整体形象出发，联想挖掘问题的内在联系，转化成一个数学

7、问题的动态思维，体现了思维的整体化思想模式。点评例4中要求的是一个整体量.由于无法（实际上也没必要）先将其中每个局部量先求出来后再求整体量，但这些局部量却有着整体上的联系，所以直接从整体出发去分析问题解决问题.例5能否在5×5的表格中填入1，2，…，24，25等25个数，使填入后每行中若干个数之和等于同行中其余各数之和。分析一一具体验证各种填法是否满足要求，难以奏效，现从整体着眼考虑.若每行填入符合要求的数，则该行中各数之和为偶数（如15=1+2+3+9，那个行数字之和为1+2+3+9+15=30），那么所有各行数的总和应为偶数.但填入数之和又是1+2+

8、…+25=奇数.可见满足要求的填数方式是不存在的.例6在6张纸片的正面分别写上整