数列,极限,数学归纳法·等比数列

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1、数列、极限、数学归纳法·等比数列 教学目标1．理解并掌握等比数列的定义、通项公式及其初步应用；领略“递推”的思想方法．2．通过公式的探求，引导学生学习观察、类比、猜测等合情推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力．3．通过教证明、教猜想，学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点和难点等比数列定义、通项公式及其一般形式的探求．教学过程设计师：请同学们回忆等差数列是怎么定义的？通项公式是什么？怎样证明？生1：定义是：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数

2、列，这个常数叫公差，用d表示．（生1语言表述，老师代为写出）an-an-1=d，n=2，3，…．生2：通项公式是an=a1+（n-1）d，n=2，3，…．师：作为“通项”公式，应对所有项适合，是这样吗？生3：当n=1时，左边=a1，右边=a1+（1-1）d=a1+0=a1，适合．所以通项公式为an=a1+（n-1）d，n=1，2，3，…．师：哪位同学能证明？生4：（板书）在an-an-1=d中，命下标取2，3，…，n-1，n，得a2-a1=da3-a2=da4-a3=d……an-1-an-2=d+）an-an-1=dan-a1=（n-1）d所以an=a1

3、+（n-1）d．生5：也可采用“连续代入”的方法：（生5口述，师板书）由an-an-1=d，得an=an-1+d=an-2+2d（注意下标与d的系数的关系）=an-3+3d=…=a1+（n-1）d．师：非常好！这就是严格的证明了．请注意，把定义改写为an=an-1+a就是“递推关系”了，它有“顺次递推”的功能，生5的证法就是巧用了这个功能．（这里，“复习”不是单纯地对“知识”的回顾，而是通过对知识产生过程的反思，起到承上启下的作用，为本课反复运用的类比打下了基础，这里，通过对教材的略加变通（一是检验了n=1的情形；二是严格推导），把教材中原本仅是猜想（但

4、学生常误认为是证明）的东西，给出了严格的证明，而且获得了“错位相消”和“连续代入”两种重要技巧）师：请同学们观察如下两个数列（投影仪打出）：（Ⅰ）5，25，125，625，…有什么特点？它们是等差数列吗？师：共同特点是什么？可仿“等差数列”来描述．生6：从第二项起，每一项与它前一项的商都等于同一个常数．（师板书）师：好，上述两个数列都具有很好的特点，它和等差数列一样，是一类重要的数列，谁能为这样的数列起个名字吗？生7：叫“等商数列”．师：可以，但“每一项与它前一项的商”应说成“每一项除以它的前一项的商”．还可怎样说？生8：可以说成“每一项与它前一项的比”

5、．噢，那就叫“等比数列”．师：好！两种说法都正确，请完整地叙述一下生：如果一个数列（   ）从第2项起（   ），每一项（   ）与它前一项（   ）的比等于同一个常数（   ），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数（   ）叫做公比．（在学生叙述时，老师板书，并有意识地留下了空隙．学生说完之后，同大家商量着在空隙中依次填上{an}，n=2，3，…，an-1，an，师：等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻划？师：以上我们学习了等比数列的定义．等比数列的定义可作为判断一个数列是否是等比数列的依据．请考虑如下数列是否是等比数列（投影仪打出）：②1，2，4

6、，8，12，16，20，…；④1，1，1，…，1；⑤a，a，a，…，a．（生口答，师板书）师：你能求出a1999=？师：好！谁来回答④和⑤？师：有不同意见吗？生13：④是等比数列；对⑤，当a≠0时，⑤是等比数列；当a=0时，⑤不是等比数列．师：很好！由此联想到什么？关于等比数列的项和公比有何限制？生14：an≠0，q是非零常数．师：有没有既是等差又是等比数列的数列？生15：有，就是非零常数列．（让学生自行通过观察、类比、综合得到定义，自行命名，这是尊重学生的主体地位，强化学生主体意识；通过讨论定义，把普通语言译成符号语言，体现了数学的特点，手把手教将数学

7、“符号化”的能力，这非常重要；通过实例尝试，而不是通过“嘱咐”让学生认识等比数列是非零数列（an≠0，q≠0），这样做效果好）（绝大部分学生在加紧演算，但似有难色）生16：求a6，a7等是可以的，但a1999不可能很快求出．师：前面③中的a1999这么容易求出，而这里的a1999却不易求出，原因何在？生16：③中已给出通项公式，而这里未给出通项公式．师：看来，要很快地求出本题中的a1999，首先要探求等比数列的通项公式．那么等比数列的通项公式是怎样的呢？能否试着求出a2，a3，a4？从中能否得到某种启示？生17：a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4

8、=a3q=a1q3，猜想an=a1qn-1．师：生17提出了等比数列通项公式的一