数列、极限、数学归纳法·等比数列前n项和的公式

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1、等比数列前n项和的公式 教学目标1．掌握求等比数列前n项和的公式及其推导过程，培养学生创造性的思维．2．初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力．教学重点与难点等比数列前n项和公式的推导教学过程设计（复习一下旧知识，为下面推导出前n项和公式作准备，并提供了类比）师：今天我们研究已知等比数列的首项a1，公比q，项数n（或n项an），求它的前n项和Sn的计算公式．（给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决）生：能不能像推导等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后迭乘或迭加？师：可以试试．生：a1=a1，

2、a2=a1q，a3=a2q，……an-1=an-2q，an=an-1q．将上面n个等式的等号两边分别相加，得a1+a2+a3+…+an-1+an=a1q+a2q+…+an-2q+an-1q等号左边就是Sn，右边是……（诱导一下）师：可将右边适当变形，再观察它与Sn的关系，注意上式对n≥2时成立．生：Sn=a1+q（a1+a2+…+an-2+an-1）师：等号右边括号里是数列{an}若干项的和，可以用什么符号来表示？与Sn的关系又是什么？（及时点拔，可加深学生对符号Sn的理解，最后一个问题也是推导公式的关

3、键一步）生：等号右边的括号里就是Sn-1，上面等式可以写成Sn=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）．以下只需解出Sn即可．（“方程”在中学代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决）师：因为S1=a1，所以此式对n=1也成立．（帮助学生完善证明过程）生：当q=1时，数列{an}为常数列a1，a1，…，Sn=na1例2 已知{an}为等比数列，且Sn=a，S2n=b，（ab≠0），求S3n．师：要求S3n，需知a1，q，

4、而已知条件为Sn和S2n．能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？以下再化简即可．师：这位同学处理问题很巧妙．他没有分别求得a1与q的值，而改生乙：我认为第①式就有问题，他附加了条件q≠1．而对q=1情况没有考虑．师：对！使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即q=1时，Sn=na1；（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，布置作业1．在等比数列{an}中，a1=1，an=-512，Sn=-341，求公比q和项数n．（q=-2，n=10）2．在等比数列{

5、an}中，（1）已知n，q，an，求a1与Sn；（2）已知n，q，Sn．求a1与an．（（1）a1=anq1-n．若q=1，Sn=na；3．求和：                                                                                                          ①                                                                          

6、                                ②①-②得（2）Sn=x+3x2+5x3+…+（2n-1）xn，                                          ①xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n-1）xn+1．                                              ②①-②得（1-x）Sn=x+2（x2+x3+…+xn）-（2n-1）xn+1．则当x≠1时，当x=1时，Sn=n2）课堂教学设计说明本课知识与前

7、面的知识——等差数列求和公式，教学内容联系紧密，只要学生掌握好旧知识，再经过分析、综合、归纳、推理，就能导出所学内容．采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高、效果好，同时，对完善学生的认知过程，提高他们分析问题、解决问题的能力大有裨益．本节课教学过程可概括如下：（1）复习旧知识，引出新课题；（2）推导公式，弄清条件，认识新知识；（3）运用公式，巩固新知识；（4）小结，布置作业．对全课作了如此设计，主要基于以下几点：（1）对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌

8、握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法．（2）本课采用启发引导，讲练结合的教学方法，既发挥了教师的主导作用，又体现了学生的主体地位，学生获取知识必须通过学生自己的一系列思维活动来完成，课堂上教师的作用主要在于给学生设计好符合他们学习心理过程的学习程序，通过设疑、暗示、课堂讨论、自编习题等多种教学形式和方法，启发