北京高考立体几何汇编

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1、北京近年高考立体几何试题汇编1．(2009北京理科卷16)如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由。方法提示:方法一：几何法(利用线线关系，线面关系，面面关系)。（Ⅰ）判定线面垂直的主要方法：　（１）线面垂直的定义；　（２）线面垂直的判定定理；　（３）作定理用的正确命题：　　如果两条平行直线中的一条垂直于另一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；　（４）面面垂直的性质定理；　（５）作定理用的正确命题：　　如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平

2、面，它也垂直于另一个平面。（Ⅱ）求线面角的基本步骤：　（１）找角；　（２）求角。（Ⅲ）求面面角的基本步骤：　（１）找角；　（２）求角（或说明原因）。方法二：向量法。　（１）建立适当的直角坐标系，并表示有关点的坐标；　（２）表示有关线段所对应的向量；　（３）利用向量的平行或垂直来判断直线的平行或垂直，从而判定线线、线面、面面的位置关系；或者利用向量的运算求夹角或距离。2．(2009北京文科卷16)如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。（Ⅰ）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大

3、小。93.（2008北京理科卷16文科无第三问）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.4.（2007北京理科卷16,文科无第三问）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）求与平面所成角的最大值．5.（2006年北京理科卷17,）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅰ）求证

4、：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.91.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵DE//

5、BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得.（Ⅰ）∵，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴，∴BC⊥AP.9又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平

6、面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）同解法1.2【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，，又∵，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设则，9（Ⅰ）∵，∴，∴A

7、C⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∵，∴，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.3.解法一：（I）取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC∩平面PCD.∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.又PC⊥BC.∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC.且AC∩PC＝C,∴BC⊥平面PAC.取A

8、P中点E，连结BE，CE.∵AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE