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1、北京近年高考立体几何试题汇编1.(2009北京理科卷16)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由。方法提示:方法一:几何法(利用线线关系,线面关系,面面关系)。(Ⅰ)判定线面垂直的主要方法: (1)线面垂直的定义; (2)线面垂直的判定定理; (3)作定理用的正确命题: 如果两条平行直线中的一条垂直于另一个平面,那么另一条也垂直于这个平面; (4)面面垂直的性质定理; (5)作定理用的正确命题: 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平
2、面,它也垂直于另一个平面。(Ⅱ)求线面角的基本步骤: (1)找角; (2)求角。(Ⅲ)求面面角的基本步骤: (1)找角; (2)求角(或说明原因)。方法二:向量法。 (1)建立适当的直角坐标系,并表示有关点的坐标; (2)表示有关线段所对应的向量; (3)利用向量的平行或垂直来判断直线的平行或垂直,从而判定线线、线面、面面的位置关系;或者利用向量的运算求夹角或距离。2.(2009北京文科卷16)如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上。(Ⅰ)求证:平面;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大
3、小。93.(2008北京理科卷16文科无第三问)如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.4.(2007北京理科卷16,文科无第三问)如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点在斜边上.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;(Ⅲ)求与平面所成角的最大值.5.(2006年北京理科卷17,)如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点.(Ⅰ)求证
4、:;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的大小.91.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,∴,∴在Rt△ABC中,,∴.∴在Rt△ADE中,,∴与平面所成的角的大小.(Ⅲ)∵DE//
5、BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP为二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,设,由已知可得.(Ⅰ)∵,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴,∴BC⊥AP.9又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,∴,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平
6、面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,∵,∴.∴与平面所成的角的大小.(Ⅲ)同解法1.2【解法1】(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面.(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,∴O,E分别为DB、PB的中点,∴OE//PD,,又∵,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,在Rt△AOE中,,∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设则,9(Ⅰ)∵,∴,∴A
7、C⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,∴平面.(Ⅱ)当且E为PB的中点时,,设AC∩BD=O,连接OE,由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,∵,∴,∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.3.解法一:(I)取AB中点D,连结PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC∩平面PCD.∴PC⊥AB.(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥BC.∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC.且AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC.取A
8、P中点E,连结BE,CE.∵AB=BP,∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE
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