《数学分析》第八章复习自测题

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1、《数学分析》第八章复习自测试题一、仔细体会不定积分的含义，理解它与函数微分运算的关系，知道为什么定义在区间上的函数在区间上有第一类间断点，它一定在区间上不存在原函数的原因，知道函数没有不定积分和不定积分积不出来的差别。熟记基本积分公式，熟练掌握求不定积分的线性法则，换元积分法和分部积分法。体会第一换元和第二换元的技巧和要求，体会分部积分法中两个适当函数的选择规律。并利用这些方法计算下列不定积分：1、从微分运算和积分运算的关系的角度说明下面两式的含义：Ⅰ、或；Ⅱ、或。2、据理说明下面的两个结论：（1）设在区间内存在第一类间断点，则在区间内不存在原函数；提示：

2、反证，注意到导函数的间断点的特点（没有第一类间断点）即可。（2）设为上的狄利克雷函数，则在上不存在原函数。提示：反证，注意到狄利克雷函数的取值特点以及导函数的介值性即可。3、试用合适的方法（如：线性法则、换元法、分部积分法）计算下列不定积分：（1）（用线性法则计算：注意体会用线性法则的关键是将目标函数分解成基本积分公式中的函数的线性组合）；；。（2）（用换元法计算：注意体会凑元和代元两种方法选择适当变量替换的特点）与；与；（其中）。（3）（用分部积分法计算：注意总结分部积分公式中的选择规律），；，；（4）（用分部积分法计算），，其中；（5）（用分部积分法再

3、计算，注意与（2）的方法的比较）；（6）（用分部积分法计算），。提示：（6）注意：在（4）（5）（6）中，体会不定积分移项或相消一般为什么留下积分常数，在什么情况下积分常数可以省掉。34、解决与自然数有关的不定积分的一种常用的方法是：先导出递推关系，然后反复利用递推关系进行计算。探索下列不定积分的递推关系：（1），；（2）；（3）；（4），（）。5、利用分部积分法解决下面的问题：设和都在区间上阶可导，且存在，则（1）；（2）；（3）；（4）（称为高阶的分部积分公式）。（5）试用（4）再计算，，其中；，。二、注意函数的不定积分不存在和函数的不定积分积不出来的

4、差别（函数的不定积分积不出来是指函数存在原函数，但没有初等的原函数，即原函数是初等函数，例如，等就没有初等的原函数）三、熟悉有理函数，三角函数的有理式函数，以及有理式函数（其中）和（其中当时，；当时，）的不定积分的一般（程序性）算法，并注意对具体函数思考特殊简便的算法。试选择具体的例子分别说明下面1-4的一般算法：1、（有理函数不定积分的一般算法）什么样的有理真分式称为简单分式？如何将有理真分式分解成若干简单分式的和？简单分式的不定积分如何计算？2、（的不定积分的一般算法）如何将转化为有理函数的不定3积分？3、（的不定积分的一般算法）如何将转化为有理函数的

5、不定积分？4、（的不定积分的一般算法）如何将转化为三角函数的有理式函数的不定积分；当时，又如何将直接转化为有理函数的不定积分？5、注意观察下面的有理函数和三角函数的有理式函数的不定积分的特点，选用除一般方法外的其他方法计算积分：（1）；；；。提示：利用凑元法。（2）；；。提示：，。（3）；（其中）。提示：，，其中，。（4）（其中）；；；。提示：将被积函数化为，再作变量替换，即。（5）；；；；。提示：注意，，，再利用凑元。3