2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)

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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）　　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，若集合，则（　　　）．A．B．C．D．【解】．故选B．2．若，则是的（　　　）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件C．既不充分又不必要条件【解】当时，，所以是的充分条件，但是时，或，所以不是的必要条件．故选A．3．若，则的值等于（　　　）．　A．B．C．D．【解】．故选D．4．如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内

2、部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（　　　）．A．B．　　C．D．【解】因为，则点取自内部的概率．故选C．5．等于（　　　）．A．B．C．D．【解】．故选C．6．的展开式中，的系数等于（　　　）．14　　A．B．C．D．【解】，令，则的系数等于．故选B．7．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（　　　）．A．或B．或C．或D．或【解】因为，所以设，，．若为椭圆，则所以．若为双曲线，则所以．故选A．　　8．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（　　　）．　A．B．C．D．【解】设

3、．作出可行域，如图．直线，即经过时，最小，，经过时，最大，，所以的取值范围是．故选C．　9．对于函数(其中，，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是（　　　）．　　A．和B．和C．和D．和14【解】，因为，则为偶数，四个选项中，只有Ｄ，不是偶数.故选D．10．已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点，给出以下判断：①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③可能是等腰三角形④不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（　　　）．A．①,③B．①,④C．②,③D．②,④【解】设．首先证明．，当且仅当时等号成立，由于，所以等号不成立，

4、于是，　．　　　　　　　　　　①设点，，，且成等差数列，．由是上的增函数，则，　　　　　　　　　　　②如图，为的中点，过作轴的垂线，垂足依次为．因为，所以在直线上，作交于，作交14于．因为，，由①式，，，，，由②，，所以点在的内部，因而，又，所以一定是钝角三角形．结论①正确．若是等腰三角形，因为为的中点，则，因而轴，这是不可能的，所以不是等腰三角形．结论④正确；所以结论①，④正确．故选Ｂ．　　二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．　　11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【解】．．

5、所以输出的结果是．　　12．三棱锥中，，，底面是边长为的正三角形，则三棱锥的体积等于______．【解】．．　　13．何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______．【解】．所取出的2个球颜色不同的概率．　　14．如图，中，，，点在边上，，则的长度等于______．【解】．解法1．由余弦定理,所以.再由正弦定理14，即，所以．解法2．作于，因为，所以为的中点，因为，则．于是，因为为有一角为的直角三角形．且，所以．　　15．设是全体平面向量构成的集合，

6、若映射满足：对任意向量，，以及任意，均有则称映射具有性质．先给出如下映射：①；②；③．其中，具有性质的映射的序号为________．（写出所有具有性质的映射的序号）．【解】①，③．设，，则　　．对于①，　　　　　　　　　　　　　，，所以成立，①是具有性质的映射；对于②，　　　　　　　　　　　　14　　　　　　　　　，，显然，不是对任意，成立，所以②不是具有性质的映射；对于③，　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．所以成立，③是具有性质的映射．因此，具有性质的映射的序号为①，③．　　三、解答题：本大题共6小题，共80

7、分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．　　16.（本小题满分13分）已知等比数列的公比，前项和．　　（Ⅰ）求数列的通项公式；　　（Ⅱ）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．【解】（Ⅰ）由，得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），，所以函数的最大值为，于是．又因为函数在处取得最大值，则，因为，所以．14函数的解析式为．17.（本小题满分13分）已知直线，．　　（Ⅰ）若以点为圆心的圆与直线相切与点，且点在轴上，求该圆的方程；　（Ⅱ）若直线关于轴对称的直线为，问直线与抛物线是否相切？说明理由．　【解】（Ⅰ）解法1．由题意，点的坐标为

8、．　　因为以点为圆心的圆与直线相切与点，所以．，所以．点的坐标为．设圆的方程为，则，所以，所求的圆的方程为．解法2．设圆的方程为，因为以点为圆心的圆与直线相切与点，所以解得所以，所求的圆的方程为．（Ⅱ）解法