gauss整数环的主理想及其商环研究

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1、Gauss整数环的主理想及其商环研究摘要:本文给出了Gauss整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献[1]中提出的一个猜想:Gauss整数环的商环元素个数是.关键词:Gauss整数环;商环;素元;主理想;单位ResearchthePrincipalIdealandQuotientRingofGaussianIntegralDomainWangxiao-juan(DepartmentofMathematics,XiaoganUniversity)Abstract:Thispapergivesso

2、meprotertiesofGaussianintegraldomain,andprovesthetwoconjectuiresofArch.[1]withanewandelementarymethod.InlightoftheGaussianintegraldomain,thenumberofelementsofitsringofquotientsis.Keywords:Gaussianintegraldomain;quotientring;primeelement;principalideal;un

3、it.1介绍在文献[1]中,提出两个猜想:(1)Gauss整数环的商环元素个数是;(2)对于,显然为素元,问形式的素元是否为无穷多.文献[1]证明了:对(或)以及但任意(或但任意)的情形有的元素个数恰为.近期有关Gauss整数环的商环所含元素的个数,文献都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即︱︱=其中表示由所生成的主理想.本文以一种新的初等的方法明确了的元素个数就是,为了解决上述两个猜想,首先给出Gauss整数环的一些相关定义.我们用表示集合的元素个数，的范数用来表示，表示Gauss整数环中的元素的共

4、轭.下面给出Gauss整数环的一些相关定义：设表示整数环，表示虚数单位，则高斯整数环是指一切形如()的复数关于数的普通加法与乘法作成的环,高斯整数环中的元素称为高斯整数.因此我们有以下定义：定义1设Z表示整数环,则环称为Gauss整数环.定义2若环的非空子集满足下面条件:（1）是一个子加群；（2）对任意,,元素都在中.此时我们称是环的一个理想.定义3我们称环(/,+,.)为环关于理想的商环,其中/,={,})+)=().(b+)=定义4设为的一个主理想.2性质Gauss整数环有下列显然的基本性质:命题1

5、的单位(可逆元)是.证明设，可逆，其逆元为，则两边取模并平方，得到由于，，故，于是，或，或，或即的单位(可逆元)是.命题2是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环证明见文献[3]中.命题3[4]中的素元当且仅当是不可约元。证明设为中的不可约元，并有（），由命题2知：，使得令,因为是Z[i]的不可约元，故中必有一个是单位。若是单位，则即若是单位，由故可设，于是则，由于

6、及

7、，所以

8、,因此是中的素元。反之，设是z[i]的素元，若,则有

9、或

10、,不妨设

11、，可设,故，由是无零因子环，所以有，即得是单位，故是不可约的。

12、命题设，如果是z中的素数，则是Z[i]的素元；若是Z[i]中的素元则也是中的素元。证明　设,由是Z[i]中的素数，若是Z[i]中的可约元，可设均不是Z[i]中的单位，由均不为1，与是Z[i]中的素数矛盾，所以是Z[i]中的不可约元，由命题3知是z[i]中的素元。设，则由可约可知可约，因此是Z[i]中的素元，则也是。命题设是Z[i]中的素数且,当且仅当P中Z[i]中的可约元。由文献[5]中的高斯平方和定理即知命题5成立。3商环定理1　，这里记，则元素z所在的陪集记为:，简记为引理1［３］设是环的一个理想，

13、则，即的充分必要条件是定理1的证明当时，下证这个数在不同的陪集中，即,对,有，即设，有对任何,,令即对任何0

14、ny,n

15、mx故，令并将其代入得即再代入(1)式得与上式0

16、，即坐标则下证:(反证法)假设,则这显然矛盾,故假设不成立即商环至少有个不同的陪集又对由带余除法,设,其中则所以这说明与元素在同一个陪集中,而必为中的一个元素，故商环中元素的个数为.即.4素元对于Gauss整数环,它的元素可以分为两部分,一部分是整数,另一部分是形如的元素.下面讨论中的素元及形如的素元的个数.首先，中的非素数肯定不是中的素元，因为素元要求除本身及单位外无其它因子，故只有素数才可能是中的素元．但素数在中是素元，在中则不一定．如