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《数学与应用数学毕业论文-矩阵 的可交换空间 的多项式表示的等价条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、张清新矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件张清新（数学与应用数学系指导老师：杨忠鹏）摘要：钱微微文章[钱微微,蔡耀志.论矩阵可交换的充要条件.大学数学,2007，23（5）]给出了与给定矩阵可交换的矩阵可表示为的多项式的充要条件。本文指出这个结果是错误的，并分析了产生错误原因，利用已有文献结论，本文把与给定矩阵可交换的矩阵可表示为的多项式构同为9个等价条件。关键词：矩阵可交换标准型块多项式Abstract:ThearticleofWeiweiQian[WeiweiQian,YaozhiCai.AD
2、iscussionofNecessaryandSufficientConditionsfortheExchangeMatrix.2007,23(5)]givesthenecessaryandsufficentconditionsthattheexchangematrixwithagivenmatrixcanbeexpressedaspolynomial.Thispaperpointsoutthattheresultoftheabovearticleiswrong,andanalysisthecauseoftheerrors.Throug
3、htheconclusionsoftheexisted,thepapermaketheexchangematrixwithagivenmatrixcanbeexpressedaspolinomialconformatewithnineequivalentconditions.Keyword:ExchangeablematrixJordanstandardJordanblockPolynomial0符号说明多项式的次数空间的维数复数域上行列矩阵全体矩阵的最小多项式矩阵的特征多项式矩阵的可交换空间矩阵的多项式空间阶特征值为的块1引言矩阵可交
4、换是代数中相当重要的内容，矩阵运算与普通数域的代数运算有很大的差别，最为重要的差别就是矩阵运算一般不满足交换律。若两矩阵满足，则就具有重要的性质，如同时可上三角化(见文献[2])。由于它的重要性，引起了一系列的问题，14张清新矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件近年来，越来越多的学者和专家开始从事对矩阵交换的性质和可交换条件的研究.大家可以发现数量阵是与一切矩阵可交换，任意矩阵都与其多项式矩阵可交换。在文献[1]中，作者研究了命题任意矩阵都与其多项式矩阵可交换的逆命题，其主要结论为:一个矩阵化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，
5、那么与可交换的矩阵其充要条件为是的次多项式:本文首先举例说明钱微微文章中主要结论的错误，并从理论上证明其错误，然后从矩阵的内部结构标准型出发，讨论矩阵为什么情况时，给出并证明了与等价的八个命题。定义1.1(见文献[3])一个矩阵称为非减次矩阵，是指的每个特征值的几何重数为1定义1.2阶矩阵的可交换空间定义1.3阶矩阵的多项式空间定义1.4(见文献[4])形式为的矩阵称为块，其中是复数。1关于钱微微文章的讨论2.1钱微微文章的主要结论钱微微文章先对块进行分类，在标准型中的块有三种类型：1），互不相同且都是的特征值。2），为任意实数，它也是
6、的特征值，而且是多重根。3），为任意实数，它也是的重特征值。在此分类基础上文献[1]给出了以下命题：命题1（见文献[1]定理2）一个矩阵化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块,那么与可交换的矩阵其充要条件为可化为的次多项式，即该命题也可表示为：一个矩阵化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块,那么.2.2钱微微文章主要结论的反例14张清新矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件对于命题[1]我们可举一例如下，例1设,,,,所以,故与可交换A化为约当标准型为，其约当块有两块,,都属于上述约当块分类的，故都不属于约当块，所以矩阵都满足命
7、题1的前提，故由命题1可知可化为的次多项式，即可化为的3次多项式，即存在，使得,变形得，即但是因为,则=14张清新矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件与矛盾。这说明虽然与可交换，但是不能表示为的3次多项式因此例1说明文献[1]的主要结论命题1是错误的。2.3钱微微文章证明过程的错误首先我们引入钱微微文章对于命题1的证明。引理2.3.1(见文献[1]引理2)当矩阵为对角阵,即,且互不相同时,与它可交换的矩阵必可表示成的次多项式。引理2.3.2(见文献[1]引理3)当为约当块矩阵，即时，与其可交换的矩阵也可写成的次多项式。命题1（见文献[
8、1]定理2）一个矩阵化为标准型后，若中没有纯量矩阵的块,那么与可交换的矩阵其充要条件为可化为的次多项式，即证明对于与可交换的矩阵应满足的方程中,若将化成标准型,其中为满秩阵为标准型.将代入上面方程,得若令，
