2015_考研模拟一(数学一)评分标准及参考答案

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1、南京理工大学课程考试试卷答案及评分标准课程名称：2015全国硕士研究生入学统一考试模拟试题一（数学一）学分：教学大纲编号：在下，解方程组：,得唯一驻点：。求二阶偏导数知该点为极大值点，即最大值点，。（II）由（I）的结果可知：，即：，亦即：，令，，，即得，证毕。（注：本题考查用拉格朗日乘数法求多元函数的最值和多元函数法证明不等式）（17）（本题满分10分）证明：题中要证的式子为一可分离变量的微分方程，其通解为，分离常数得，从而，不妨做一个辅助函数，令。由积分中值定理，，使得，由已知条件，，可得：，，由零点定理，则，使得；，使得，即有，。由罗尔定理，，使得，即：，化简得。证

2、毕。（注：本题考查积分中值定理、零点定理、罗尔定理和可分离变量微分方程的综合运用）试卷编号：考试方式：闭卷满分分值：150考试时间：180分钟一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。（1）C（2）C（3）B（4）D（5）B（6）C（7）A（8）D二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。（9）（10）（为常数）（11）（12）（13）（14）0.4三、解答题：15~23小题，共94分。（15）（本题满分10分）解：，，且由题设条件知：，（注：本题考查变量替换法、导数的定义和运用洛必达法则求极限）（16）（本题满分10分）解:（I）令，第1页共3页课程名称：20

3、15全国硕士研究生入学统一考试模拟试题一（数学一）学分：教学大纲编号：（II），级数，由于所以。（注：本题考查用变量替代法和微分法处理变上限函数，数项级数的求和）（20）（本题满分11分）解：（I）设为矩阵的一个特征值，则有：，（），则：；又由于，则，于是：，由于，故：，解得：特征值。由于为三阶实对称矩阵，必可以对角化，且，所以对角化的矩阵为：，于是，矩阵的全部特征值为，。（II）因为，所以仍为三阶实对称矩阵，又对于实对称矩阵A，存在可逆矩阵P，使得，故：，所以：，即，要使矩阵为正定矩阵，只需，即。（注：本题考查矩阵的特征值和特征向量、对角化、实对称矩阵的性质及正定矩阵的

4、判定）试卷编号：考试方式：闭卷满分分值：150考试时间：180分钟（18）（本题满分10分）解：记，，，由于，，，则，由于被积函数及其偏导数在点（0,0,0）处不连续，作封闭曲面（外侧），其中且充分小。记和所围的区域为。在上用高斯公式得：，（注：本题考查高斯公式的应用条件和运用其求解曲面积分）（19）（本题满分10分）解：（I）令，则，故，即，上式两边同时对求导，得，即。南京理工大学课程考试试卷答案及评分标准第2页共3页南京理工大学课程考试试卷答案及评分标准课程名称：2015全国硕士研究生入学统一考试模拟试题一（数学一）学分：教学大纲编号：（Ⅲ）。（注：本题考查随机变量概

5、率密度的性质、条件概率及数学期望的求法）（23）（本题满分11分）解：（I）由，解得的矩估计量为；作似然函数：，，由于，为的单调递减函数，且的取值范围为，所以当时，取最大值。故的极大似然估计量为。（II）由于，所以的据估计量为，极大似然估计量为（注：本题考查对参数的矩估计和极大似然估计）试卷编号：考试方式：闭卷满分分值：150考试时间：180分钟（21）（本题满分11分）解：（I）对矩阵作初等行变换，得，当时，，，可由线性表示，且，，可由线性表示，即两个向量组等价。（II）当两个向量组等价时，，故，.（注：本题考查对矩阵的初等行变换、向量组等价的含义及向量组之间的线性关系

6、）（22）（本题满分11分）解：（I）由，得，解得：；（II）；第3页共3页