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时间:2018-01-23
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1、www.czsx.com.cn【知识框架梳理】24.1圆【重点难点点拨】重点:(1)圆中的基本概念的认识。(2)认识圆的轴对称性,熟记“垂径定理”,并能运用它解决有关问题。(3)由实验得到同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系。(4)认识圆周角,同一条弧的圆周角和圆心角的关系,直径所对的圆周角的特征。难点与关键:(1)对等弧概念的理解。(2)运用垂径定理解决有关问题。(3)运用同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。(4)发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系,利用这个关系进一步得到其他知识,运用所
2、得到的知识解决问题。【规律方法指津】-8-www.czsx.com.cn1、用垂径定理进行证明或计算,常需要作出圆心到弦的垂线段(即弦心距),则垂足为弦的中点。弦心距、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形,便可将计算线段的问题转化为解直角三角形的问题。2、应用垂径定理计算时,由于圆中一条弦对两条弧,以及圆内两平行弦与圆心的位置关系有两种情况,所以计算时不要丢解。3、对于圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理,掌握的难点是分清本定理的题设和结论。在这里,题设为“在同圆或等圆中,圆心角相等”。结论是“所对的弧相
3、等,所对的弦相等。”突破的关键是:画两个同心圆,比较同一圆心角所对两条弧是否相等,使我们能清楚地认识到“在同圆或等圆中”这个条件的必要性;4、圆周角定理的证明用到了分类讨论思想,这是数学上非常重要的一种思想方法,同学们要注意分类的标准,在学习中注意总结类似的问题;5、要注意总结辅助线的作法:在圆中,有等弧时,常作等弧所对的弦、等弧所对的圆心角、等弧所对的圆周角等;有直径时,常作直径所对的圆周角,利用这个角是直角的性质,构造直角三角形;在圆中有相等的圆周角时,常作它们所对的弧和弦,利用在同圆或等圆中,相等的圆
4、周角所对的弧相等以及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证题;6、圆周角相关题变化多端,要注意具体问题具体分析,灵活处理变化的问题。【知识详细解读】1、圆的定义在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.注意:圆的这个定义运用了一种特殊的定义方法:发生定义法,记住的最佳方法就是动手作一个圆,充分理解这个定义的产生过程。由定义可知圆有两个要素,即圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大
5、小。2、圆的基本元素图24.1-1(1)弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦,如图24.1-1中的BC.(2)直径:经过圆心的弦是直径,如图24.1-1中的AB。直径等于半径的2倍.-8-www.czsx.com.cn(3)弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.弧用符号“⌒”表示.小于半圆的弧叫做劣弧,如图24.1-1中以B、C为端点的劣弧记做“”;大于半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图24.1-1中的.注意:(1)要注意直径与弦的关系:直径是弦,但弦不一定是直径;(2)要注意弦与弧的
6、区别:弦是圆上两点间的线段,而弧是圆上两点间的部分,弧是曲线;(3)半圆与弧的关系:半圆是弧,但弧不一定是半圆.3、圆的轴对称性圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴.友情提示:(1)对称轴是直线,不能说每一条直径都是它的对称轴;ABCDOE图24.1-2(2)圆的对称轴有无数条.4、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.如图24.1-2,垂径定理用几何语言可表示为:∵CD为直径,CD⊥AB(OC⊥AB)∴EA=EB,.注意:(1)定理中的“垂直弦的直径”可以是直径,也可以是半径,甚
7、至可以是过圆心的直线或线段.(2)该定理也可以理解为:若一条直线具有两条性质:①过圆心;②垂直于一条弦,则此直线具有另外三条性质:①平分此条弦;②平分此弦所对的优弧;③平分此弦所对的劣弧。(3)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。5、圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形,实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合,这种性质叫做圆的旋转不变性。如图24.1-3,⊙O绕圆心O旋转一个任意角度α,⊙O上的任意点A与A’重合,即⊙O上所有的点旋转α角后,都与⊙O上的点重合。-8-www.czsx
8、.com.cn图24.1-3友情提示:圆是平面图形中惟一的具有旋转不变性的图形,也就是说旋转不变性是圆的特有性质。6、圆心角顶点在圆心上的角叫做圆心角,如图24.1-4中,∠AOB就是一个圆心角。图24.1-4注意:一个角要成为圆心角,必须具备顶点在圆心上这一特征。7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆
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