24.1 圆 教材全解

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1、www.czsx.com.cn【知识框架梳理】24.1圆【重点难点点拨】重点：（1）圆中的基本概念的认识。（2）认识圆的轴对称性，熟记“垂径定理”，并能运用它解决有关问题。（3）由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。（4）认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。难点与关键：（1）对等弧概念的理解。（2）运用垂径定理解决有关问题。（3）运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。（4）发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所

2、得到的知识解决问题。【规律方法指津】-8-www.czsx.com.cn1、用垂径定理进行证明或计算，常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距），则垂足为弦的中点。弦心距、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形，便可将计算线段的问题转化为解直角三角形的问题。2、应用垂径定理计算时，由于圆中一条弦对两条弧，以及圆内两平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以计算时不要丢解。3、对于圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，掌握的难点是分清本定理的题设和结论。在这里，题设为“在同圆或等圆中，圆心角相等”。结论是“所对的弧相

3、等，所对的弦相等。”突破的关键是：画两个同心圆，比较同一圆心角所对两条弧是否相等，使我们能清楚地认识到“在同圆或等圆中”这个条件的必要性；4、圆周角定理的证明用到了分类讨论思想，这是数学上非常重要的一种思想方法，同学们要注意分类的标准，在学习中注意总结类似的问题；5、要注意总结辅助线的作法：在圆中，有等弧时，常作等弧所对的弦、等弧所对的圆心角、等弧所对的圆周角等；有直径时，常作直径所对的圆周角，利用这个角是直角的性质，构造直角三角形；在圆中有相等的圆周角时，常作它们所对的弧和弦，利用在同圆或等圆中，相等的圆

4、周角所对的弧相等以及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证题；6、圆周角相关题变化多端，要注意具体问题具体分析，灵活处理变化的问题。【知识详细解读】1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.注意：圆的这个定义运用了一种特殊的定义方法：发生定义法，记住的最佳方法就是动手作一个圆，充分理解这个定义的产生过程。由定义可知圆有两个要素，即圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大

5、小。2、圆的基本元素图24.1-1（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图24.1-1中的BC．（2）直径：经过圆心的弦是直径，如图24.1-1中的AB。直径等于半径的2倍．-8-www.czsx.com.cn（3）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图24.1-1中以B、C为端点的劣弧记做“”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图24.1-1中的．注意：（1）要注意直径与弦的关系：直径是弦，但弦不一定是直径；（2）要注意弦与弧的

6、区别：弦是圆上两点间的线段，而弧是圆上两点间的部分，弧是曲线；（3）半圆与弧的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.3、圆的轴对称性圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．友情提示：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；ABCDOE图24.1-2（2）圆的对称轴有无数条．4、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图24.1-2，垂径定理用几何语言可表示为：∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）∴EA=EB，．注意：（1）定理中的“垂直弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚

7、至可以是过圆心的直线或线段.（2）该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此条弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧。（3）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。5、圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。如图24.1-3，⊙O绕圆心O旋转一个任意角度α，⊙O上的任意点A与A’重合，即⊙O上所有的点旋转α角后，都与⊙O上的点重合。-8-www.czsx

8、.com.cn图24.1-3友情提示：圆是平面图形中惟一的具有旋转不变性的图形，也就是说旋转不变性是圆的特有性质。6、圆心角顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图24.1-4中，∠AOB就是一个圆心角。图24.1-4注意：一个角要成为圆心角，必须具备顶点在圆心上这一特征。7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆