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1、线性系统时间最优控制的存在性和唯一性王思江08070110242贵州大学理学院信计1.内容介绍:最优控制理论是现代控制理论中最早发展起来的分支之一。所谓控制就是人们用某种方法和手段去影响事件及其运动的进程和轨道，使之朝着有利于控制主体的方向发展。对于一个给定的受控系统，常常要求找到这样的控制函数，使得在它的作用下，系统从一个状态转移到为设计者希望的另一个状态，且使得系统的某种性能尽可能好。通常称这种控制问题为最优控制问题。最优控制理论主要讨论求解最优控制问题的方法和理论，包括最优控制的存在性、唯一性和最优控制应满足的必
2、要条件等。最优控制理论始于20世纪50年代末，其主要标志是前苏联数学家庞特里亚金等提出的“最大值原理”。最优控制理论在工矿企业、交通运输、电力工业、国防工业和国民经济管理等部门有着广泛的应用。2.问题:控制系统其中,.初始状态是中给定的点.控制区域是中有界闭集,表示取值于的可积函数全体.表示控制系统的状态变量,表示控制系统的控制变量.假定以下基本条件成立：.对于,记,,,,.,能达集是凸紧的.假设,表示从到目标是能控的.定义,即是轨线首次遇到的时间.规定.问题(TC):对于,假设条件成立.寻找控制使得.而.满足的控制称
3、为最优时间控制.2.最优控制的存在性和唯一性的证明:首先,我们叙述以下引理．引理设以及成立,则最优时间.下面我们不加证明的给出与最优控制的存在性有关的一系列定理.定理设以及成立,则问题(TC)至少存在一个时间最优控制,且最有时间满足.定理设以及成立,,是问题(TC)的最优时间,则.定理设以及成立,,则最优时间是以下函数在上的最小零点.进一步,如果,满足,则最优控制满足以下最大值条件,而满足如下横截条件.其中是方程组的转移矩阵。记.则满足.利用,式改写为,式改写为.定理(最大值原理）设成立,控制是问题(TC)的最优控制,
4、是问题(TC)的最优时间,则存在的非零解,使得最大值条件和成立.定理(Bang-Bang原理)设以及成立,则存在控制使得.当时,意味着.以下讨论定常线性系统这里是中的有界凸多面体,并且与满足下列条件：对于平行于的某一条棱的向量,个向量是线性无关的.这里的棱是指的边界面的交线.定理把系统从状态最快转移到状态的最优控制是唯一的.定理的证明参见[1].
