导数的应用(二) 最大值与最小值

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1、导数的应用（二）最大值与最小值一.教学内容导数的应用（二）最大值与最小值一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，例如在内的图象连续，但无最大值和最小值。设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【典型例题】[例1]求函数在区间上的最大值与最小值。解：，令，有当变化时，，的变化情况如下表：012－0+0－0+13↓4↑5↓4↑13从上表可知，函数在区间上最大值为13，最小值为4，利用此表可画出函数的图象如下：

2、[例2]已知，的最大值为3，最小值，求、的值。解：依题意，否则与已知矛盾。令解得或（1）当时，由解得令，解得，列表如下：02+0－↑极大↓由连续，则当时，有最大值，即，又由，则为最小值，故所以，当时，，（2）当时，列表如下：02－0+↓极小↑故最小值为，最大值为所以，当时，，[例3]已知两个函数，，其中（1）对任意的，都有成立，求的取值范围。（2）对任意的，都有，求的取值范围。解：（1）设，则对任意的，都有成立，，，令，则或，列表如下：23+0－0+↑↓↑由上表可知则（2）对任意，都有成立，先求，令得或，列表如下：3+0－0+↑↓↑则再求的最大值，，，，于是[例4]如

3、图，在二次曲线的图象与轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积。解：设点B坐标，则点C坐标为，矩形ABCD的面积为令得故当时，有S最大值为【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.函数（）在的最大值为5，最小值为，求的解析式。2.已知函数（1）若在上是增函数，求b的取值范围。（2）若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围。3.用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容积最大？并求出它的最大容积？【试题答案】1.解：解之得，故解析式为01+0－↑极大↓2.解：（1）在上是增函数恒成立（2）易求

4、得，当时，恒成立或3.解：设容器底面边长为，则另一边长为，高为=则容器容积为令有，（舍），故当时，有最大值，，此时高为1.2。答：高为1.2m时，容积最大为。